関数の極限と連続性の練習問題

考え方

x をある値に限りなく近づけたときに関数が近づく値（極限）を、$\frac{0}{0}$ になる形もふくめて求められるようになります。微分の土台であり、$\sin x \approx x$ のような近似計算にも使います。

極限 $\lim_{x \to a} f(x)$

x を a に限りなく近づけたとき（x = a そのものではなく）、f(x) が近づく値です。

不定形

そのまま代入すると $\frac{0}{0}$ などになり、値が決まらない形です。式を変形してから考えます。

連続

$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ が成り立つことです。グラフがその点で切れずにつながっています。

$\lim_{x \to a} f(x)$ は、x が a に「等しい」ときではなく、a に限りなく「近づく」ときの f(x) の行き先です。グラフがつながっている（連続な）関数なら、行き先は f(a) なので、そのまま代入すれば求まります。

ところが $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ に x = 1 を代入すると $\frac{0}{0}$ になり、値が決まりません。この場合は分子を $(x - 1)(x + 1)$ と因数分解し、$x \ne 1$ として約分して $x + 1$ にしてから近づけます。極限は 2 です。

三角関数では $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$（θ は弧度法）が基本です。半径 1 の円で、中心角 θ の弧の長さ θ と、高さ $\sin\theta$ が、θ が小さいとほとんど同じになるからです（下の図）。

$\frac{\sin 3x}{\sin 2x}$ のような形は、$\frac{\sin 3x}{3x}$ と $\frac{2x}{\sin 2x}$ がどちらも 1 に近づくように組み直すと、$\frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$ が残ります。x が小さいとき $\sin 3x \approx 3x$、$\sin 2x \approx 2x$ と考えても同じ結果です。

ポイント

連続な関数では $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$（代入すればよい）

$\frac{0}{0}$ の不定形: 因数分解して約分してから代入する

$\displaystyle\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$（θ は弧度法）

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\sin bx} = \frac{a}{b}$（$\frac{\sin ax}{ax} \to 1$、$\frac{bx}{\sin bx} \to 1$ を使う）

解き方の手順

1. まず x の値をそのまま代入してみます。値が決まれば、それが極限です。
2. $\frac{0}{0}$ になったら、分子（と分母）を因数分解して、共通の因数で約分します。
3. sin をふくむ形は、$\frac{\sin \square}{\square}$（□ は同じ式）がそろうように、かけてわって組み直します。
4. $\frac{\sin \square}{\square} \to 1$ を使い、残った式に x の値を代入します。