三角関数と弧度法の練習問題

考え方

角度を「ラジアン」で表す弧度法を使い、扇形の弧の長さや面積を簡単な式で計算できるようになります。弧度法は、波（音・電気・振動）を表す三角関数のグラフや、微分・積分の前提になります。

弧度法（ラジアン）

半径と同じ長さの弧に対する中心角を 1 ラジアンとする角の表し方です。$180^{\circ} = \pi$ ラジアンです。

一般角

360° をこえる角や、時計回りに測った負の角も含めた角です。

周期

グラフが同じ形をくり返す間隔です。$y = \sin\theta$ の周期は $2\pi$ です。

半径 r の円で、弧の長さが半径と同じ r になるときの中心角を 1 ラジアンと決めます。半円の弧の長さは $\pi r$ で半径の π 倍なので、$180^{\circ} = \pi$ ラジアンです。1 ラジアンは約 57.3° です。

度をラジアンに直すには $\frac{\pi}{180}$ をかけます。$60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$、$90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$、$360^{\circ} = 2\pi$ です。ふつう「ラジアン」という単位は省略して書きます。

弧度法を使うと、半径 r、中心角 θ の扇形の弧の長さは $l = r\theta$、面積は $S = \frac{1}{2}r^{2}\theta$ とすっきり書けます。この θ には必ずラジアンを入れます。度のまま入れると、答えが大きくずれます。

単位円上の点の座標 $(\cos\theta, \sin\theta)$ は、θ を 360° 以上や負の角に広げても決められます。θ が $2\pi$ 増えると同じ点に戻るので、$y = \sin\theta$ のグラフは $2\pi$ ごとに同じ波の形をくり返します（周期 $2\pi$）。

ポイント

$180^{\circ} = \pi$（ラジアン）。度 × $\dfrac{\pi}{180}$ = ラジアン

扇形の弧の長さ $l = r\theta$、面積 $S = \dfrac{1}{2}r^{2}\theta$（θ はラジアン）

$\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta$、$\cos(\theta + 2n\pi) = \cos\theta$（n は整数）

$y = \sin\theta$、$y = \cos\theta$ の周期は $2\pi$、$y = \tan\theta$ の周期は $\pi$

解き方の手順

1. 中心角を度からラジアンに直します。度 × $\frac{\pi}{180}$ を計算して約分します。
2. 弧の長さなら $l = r\theta$、面積なら $S = \frac{1}{2}r^{2}\theta$ に代入します。
3. π は文字のまま残し、係数を約分して「$2\pi$」「$\frac{5\pi}{3}$」のように答えます。