三角比の練習問題

考え方

坂の長さと角度から高さを求めるなど、直角三角形の辺の比（sin・cos・tan）が使えるようになります。測量、建築の勾配、スロープの設計、力の分解などの基本です。

斜辺・対辺・隣辺

直角三角形で、直角の向かいの最も長い辺が斜辺、角 θ の向かい側の辺が対辺、θ のとなりの（斜辺でない）辺が隣辺です。

三角比

$\sin\theta$（サイン）・$\cos\theta$（コサイン）・$\tan\theta$（タンジェント）。角 θ だけで決まる辺の比です。

単位円

原点を中心とする半径 1 の円です。

角度が同じ直角三角形は、大きさが違っても形が同じ（相似）なので、辺の比は角度だけで決まります。この比に名前をつけたのが三角比で、$\sin\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$、$\cos\theta = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$、$\tan\theta = \frac{\text{対辺}}{\text{隣辺}}$ です。

たとえば長さ 10 m のスロープが地面と 30° をなすとき、高さ（対辺）は $10 \times \sin 30^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ m です。斜辺が分かっていれば、対辺 = 斜辺 × sin θ、隣辺 = 斜辺 × cos θ で求められます。

30°・45°・60° の三角比は、三角定規の辺の比から正確な値が分かります。30°・60°・90° の三角形は $1 : 2 : \sqrt{3}$、45°・45°・90° の三角形は $1 : 1 : \sqrt{2}$ です。答えは √ を使った正確な値で、分母に √ を残さずに書きます。

90° より大きい角は、直角三角形では表せません。そこで、単位円の上で x 軸の正の向きから θ 回転した点 P を考え、P の x 座標を $\cos\theta$、y 座標を $\sin\theta$、$\frac{y}{x}$ を $\tan\theta$ と決めます。θ が 90° より小さいときは、直角三角形の定義と同じ値になります。

$180^{\circ} - \theta$ の点は、θ の点を y 軸について折り返した位置にあります。そのため sin は同じで、cos と tan は符号だけが逆になります。

ポイント

$\sin\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$、$\cos\theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$、$\tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

対辺 = 斜辺 × $\sin\theta$、隣辺 = 斜辺 × $\cos\theta$

$\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin\theta$、$\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos\theta$

$\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$、$\cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$、$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$

解き方の手順

1. 図をかき、求める辺が角 θ から見て対辺・隣辺のどちらかを確かめます（90° より大きい角なら単位円で考えます）。
2. 30°・45°・60° の三角比を、辺の比 $1 : 2 : \sqrt{3}$、$1 : 1 : \sqrt{2}$ から求めます。
3. 鈍角 θ は $180^{\circ} - \theta$ の角で考え、cos と tan を負にします。
4. 辺の長さは「斜辺 × sin θ」「斜辺 × cos θ」で計算し、√ を使った正確な値で答えます。