相似の練習問題

考え方

形が同じで大きさだけが違う図形（相似）の性質を使い、相似比から長さ・面積・体積を求められるようになります。地図の縮尺、拡大コピー、サイズ違いの容器の容量や、塗料の量の見積もりに使います。

相似

一方を拡大または縮小すると、もう一方にぴったり重なる関係。記号 ∽ を使って表します。

相似比

相似な図形で、対応する辺の長さの比。

相似な図形では、対応する角はそれぞれ等しく、対応する辺の長さの比はすべて等しくなります。この比が相似比です。

2つの三角形が相似といえるのは、「3組の辺の比がすべて等しい」「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい」「2組の角がそれぞれ等しい」のどれかが成り立つときです。合同と違い、角だけで相似がいえます。

相似比が $m : n$ のとき、面積比は $m^{2} : n^{2}$ です。面積は「縦 × 横」で、縦も横も $\frac{n}{m}$ 倍になるからです。1辺を2倍にすると、面積は4倍になります。

立体では、体積比は $m^{3} : n^{3}$ です。縦・横・高さの3方向がそれぞれ $\frac{n}{m}$ 倍になるので、高さが2倍の相似なグラスには8倍の量が入ります。

ポイント

相似比が $m : n$ なら、面積比は $m^{2} : n^{2}$

相似比が $m : n$ なら、体積比は $m^{3} : n^{3}$

三角形の相似条件: 3組の辺の比がすべて等しい／2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい／2組の角がそれぞれ等しい

解き方の手順

1. 相似比（対応する長さの比）$m : n$ を確かめます。
2. 求める量が長さ・面積・体積のどれかを見分けます（塗料の量は面積、容量は体積に比例します）。
3. 面積なら2乗、体積なら3乗の比にします。
4. 分かっている量に、比の「求めたい方 ÷ 分かっている方」をかけます。