平行線と線分の比の練習問題

考え方

平行線で区切られた線分の長さの比を使って、直接測りにくい長さを計算で求められるようになります。土地の図面、斜めの通路や棚板の長さ、影を使った高さの見積もりなどで使います。

中点連結定理

三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、残りの辺に平行で、長さはその半分になるという定理。

△ABC の辺 AB 上に点 D、辺 AC 上に点 E をとり、$DE \parallel BC$ とします。平行線の同位角は等しいので $\angle ADE = \angle ABC$、$\angle A$ は共通なので、2組の角がそれぞれ等しく、△ADE ∽ △ABC です。

相似な三角形では対応する辺の比が等しいので、$AD : AB = AE : AC = DE : BC$ が成り立ちます。小さい三角形 ADE を拡大すると、大きい三角形 ABC になると考えます。

DE の長さを求めるときに使うのは $AD : AB$ で、$AD : DB$ ではありません。AB は $AD + DB$ で求めます。なお、辺の上の比 $AD : DB = AE : EC$ も成り立ちます。

D、E が AB、AC の中点なら $AD : AB = 1 : 2$ なので、DE は BC のちょうど半分です。これが中点連結定理です。

ポイント

$DE \parallel BC$ ならば $AD : AB = AE : AC = DE : BC$

$DE \parallel BC$ ならば $AD : DB = AE : EC$

中点連結定理: M、N が AB、AC の中点なら $MN \parallel BC$、$MN = \dfrac{1}{2}BC$

解き方の手順

1. 平行な線分を見つけ、相似な2つの三角形（小さい △ADE と大きい △ABC）を確かめます。
2. 求めたい辺（DE）に対応する辺（BC）を見つけます。
3. 対応する辺の比 $AD : AB$ をつくります（$AB = AD + DB$）。
4. $DE = BC \times \dfrac{AD}{AB}$ を計算します。