図形の性質の練習問題

考え方

角の二等分線が辺をどんな比に分けるかなど、三角形と円の性質を使って長さや比を求められるようになります。土地の分割、図面の作図、レイアウトの設計などで使います。

角の二等分線

角をちょうど半分に分ける直線です。

三角形の五心

重心（中線の交点）・外心（外接円の中心）・内心（内接円の中心）・垂心（垂線の交点）・傍心の5つです。

チェバの定理・メネラウスの定理

三角形の辺を分ける比どうしの関係を表す定理です。

三角形 ABC で、角 A の二等分線が辺 BC と交わる点を D とすると、$BD : DC = AB : AC$ が成り立ちます。D は BC の真ん中とは限らず、AB のほうが長ければ BD のほうが長くなります。真ん中になるのは $AB = AC$ のときだけです。

理由は面積で説明できます。角の二等分線上の点 D は、辺 AB と辺 AC から等しい距離にあるので、三角形 ABD と ACD の面積の比は $AB : AC$ です。一方、2つの三角形は A からの高さが共通なので、面積の比は底辺の比 $BD : DC$ でもあります。

BD の長さは、BC を $AB : AC$ に分けたうちの AB の分なので、$BD = BC \times \frac{AB}{AB + AC}$ です。B の側の BD には、B の側の辺 AB が対応すると覚えましょう。

ほかにも、重心は各中線を頂点の側から $2 : 1$ に分ける、円と2本の直線では $PA \cdot PB = PC \cdot PD$（方べきの定理）など、比や長さの関係が多くあります。チェバ・メネラウスの定理は、三角形の辺を分ける比を一周かけ合わせると 1 になる、という形の定理です。

ポイント

角の二等分線: $BD : DC = AB : AC$、$BD = BC \times \dfrac{AB}{AB + AC}$

重心は、各中線を頂点の側から $2 : 1$ に分ける

チェバの定理（AD, BE, CF が1点で交わるとき）: $\dfrac{AF}{FB} \cdot \dfrac{BD}{DC} \cdot \dfrac{CE}{EA} = 1$。メネラウスの定理も同じ形（1本の直線が3辺またはその延長と交わるとき）

方べきの定理: $PA \cdot PB = PC \cdot PD$

解き方の手順

1. 図をかき、二等分された角の頂点（A）、向かいの辺（BC）、その上の点 D を確かめます。
2. B の側どうし・C の側どうしを対応させて、$BD : DC = AB : AC$ と比を書きます。
3. BD は BC 全体の $\frac{AB}{AB + AC}$ 倍なので、$BD = BC \times \frac{AB}{AB + AC}$ を計算します。
4. 割り切れないときは、約分した分数のまま答えます。