円周角の定理の練習問題

考え方

円周角と中心角の関係（円周角の定理）を使って、円の中にできる角の大きさを求められるようになります。円形のテーブルや広場、円を使ったデザインや図面の角度を考えるときに役立ちます。

中心角

弧 AB の両端と円の中心 O を結んでできる角 $\angle AOB$。

円周角

弧 AB の両端と、弧 AB 上にない円周上の点 C を結んでできる角 $\angle ACB$。

円周上に点 A、B をとると、円周は2つの弧に分かれます。中心 O から見た角 $\angle AOB$ が中心角、弧 AB 上にない円周上の点 C から見た角 $\angle ACB$ が円周角です。

円周角の定理: 1つの弧に対する円周角は、その弧に対する中心角の半分です。また、同じ弧に対する円周角は、点 C を円周上のどこにとっても等しくなります。

特に、半円の弧（直径 AB）に対する中心角は 180° なので、円周角は 90° です。直径を1辺とし、残りの頂点が円周上にある三角形は直角三角形になります。

円の問題では、OA と OB がどちらも半径で等しいことにも注目します。△OAB は二等辺三角形なので、2つの底角が等しくなります。

ポイント

円周角 $= \dfrac{1}{2} \times$ 中心角（同じ弧に対する角）

同じ弧に対する円周角はすべて等しい

直径（半円の弧）に対する円周角 $= 90^\circ$

解き方の手順

1. 分かっている角と求めたい角が、どの弧に対する円周角・中心角かを確かめます。
2. 中心角 = 円周角 × 2（円周角 = 中心角 ÷ 2）で、もう一方を求めます。
3. 半径 OA = OB がつくる二等辺三角形に注目し、底角が等しいことを使います。
4. 三角形の内角の和 180° から、求めたい角を計算します。