三平方の定理の練習問題

考え方

直角三角形の3辺の関係 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$（三平方の定理）を使って、直接測れない長さや、2地点の直線距離を求められるようになります。はしごの届く高さ、画面の対角線の長さ、地図上の距離などで使います。

斜辺

直角三角形で、直角の向かい側にある辺。3辺のうちでいちばん長い辺です。

三平方の定理

直角をはさむ2辺を a、b、斜辺を c とすると、$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ が成り立つという定理（ピタゴラスの定理）。

直角をはさむ2辺が 3 と 4 の直角三角形では、斜辺は 5 です。$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$ が成り立っています。

図のように各辺を1辺とする正方形をかくと、小さい2つの正方形の面積の和が、斜辺の正方形の面積と等しくなります。どんな直角三角形でも成り立つ、これが三平方の定理です。

斜辺を求めるときは $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$、直角をはさむ辺を求めるときは $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$（斜辺の2乗から引く）です。どの辺が斜辺かを、最初に必ず確かめます。

東へ a、北へ b 進んだ地点までの直線距離は、東西と南北が直角に交わるので $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ です。答えの √ の中に平方数の因数があれば、外に出して簡単にします。

ポイント

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$（c は斜辺）

斜辺: $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$、ほかの辺: $b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

横に a、縦に b 離れた2点の距離 $= \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解き方の手順

1. 直角がどこにあるかを見つけ、直角三角形をつくります。
2. 斜辺（直角の向かい側、いちばん長い辺）がどれかを確かめます。
3. 斜辺を求めるなら2辺の2乗を足し、ほかの辺を求めるなら斜辺の2乗から引きます。
4. √ をとり、√ の中の平方数を外に出して簡単にします。