平方根の練習問題

考え方

2乗すると a になる数 $\sqrt{a}$ の意味が分かり、√ をふくむ式を簡単にしたり、分母の √ をなくしたり（有理化）できるようになります。正方形の対角線や、コピー用紙の縦横の比（$1 : \sqrt{2}$）など、身近な長さにも現れます。

平方根

2乗すると a になる数を、a の平方根といいます。正と負の2つがあり、9 の平方根は 3 と $-3$ です。

根号 √

平方根のうち、正の方を表す記号。$\sqrt{9} = 3$ です。

有理化

分母に √ をふくまない形に直すこと。

面積が 2 の正方形の1辺は、2乗して 2 になる数です。$1.4^{2} = 1.96$、$1.5^{2} = 2.25$ なので 1.4 と 1.5 の間ですが、小数では 1.41421356… と終わりません。そこで $\sqrt{2}$ と書きます。

かけ算では $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ が成り立ちます。逆に、√ の中に 4、9、16 などの平方数の因数があれば外に出せます（$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$）。√ の中は、できるだけ小さい自然数にしておきます。

たし算・ひき算は、√ の中が同じものどうしだけ、文字式の同類項のようにまとめられます（$2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$）。$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ ですが $\sqrt{9 + 16} = 5$ なので、√ は足し算に分けられません。

分母に √ があるときは、分母と分子に同じ √ をかけます。$\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b$ なので分母から √ が消えます（有理化）。分母と分子に同じ数をかけるので、分数の大きさは変わりません。

ポイント

$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$、$\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}$（例: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$）

$m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m + n)\sqrt{a}$（√ の中が同じときだけまとめられる）

有理化: $\dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b}$

$\sqrt{a + b}$ と $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ は等しくない

解き方の手順

1. √ の中の数を素因数分解し、4、9、16、25 などの平方数の因数を探します。
2. $\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}$ を使って、√ の中をできるだけ小さい自然数にします。
3. 分母に √ があれば、分母と分子に同じ √ をかけて有理化し、約分します。
4. √ の中が同じ項どうしの係数をまとめます。