素因数分解の練習問題

考え方

自然数を素数のかけ算に分解（素因数分解）できるようになります。約数を調べたり、何倍すれば平方数（ある数の2乗）になるかを考えたりするときに使い、√ の計算の土台にもなります。

素数

1 とその数自身のほかに約数がない、2 以上の自然数（2, 3, 5, 7, 11, …）。1 は素数ではありません。

素因数分解

自然数を素数だけのかけ算で表すこと。$120 = 2^{3} \times 3 \times 5$ のように、同じ素数は累乗でまとめます。

平方数

同じ自然数を2回かけた数（1, 4, 9, 16, 25, …）。

素数は、それ以上かけ算に分けられない「数の部品」です。どんな自然数も素数のかけ算に分けられ、その組み合わせは（順番を除けば）1通りに決まります。

分け方は、2, 3, 5, 7, … と小さい素数で、割り切れるだけ割っていきます（はしご算）。商が素数になったら止め、割った素数と最後の商をかけ合わせます。

平方数を素因数分解すると、どの素因数の個数（指数）も偶数になります。たとえば $36 = 6^{2} = 2^{2} \times 3^{2}$ です。同じ数を2回かけるので、どの素数も2回ずつ出てくるからです。

そこで、ある数を平方数にするには、個数が奇数の素因数を1つずつかけ足します。そうすると、どの素因数の個数も偶数になります。

ポイント

素因数分解: 小さい素数で割れるだけ割り、割った素数と最後の商をかけ合わせる

平方数を素因数分解すると、どの素因数の指数も偶数になる

約数は、素因数のいくつかを選んでかけ合わせた数（$12 = 2^{2} \times 3$ の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12）

解き方の手順

1. 2, 3, 5, 7, … と小さい素数から順に、割り切れるだけ割ります。
2. 商が素数になったら止め、割った素数と最後の商をかけ算の形に並べて、同じ素数は累乗でまとめます。
3. 平方数にするときは、指数が奇数の素因数を探します。
4. その素因数を1つずつかけ合わせた数が、かける最小の数です。かけた結果が何の2乗になるか確かめます。