倍数・約数の練習問題

考え方

「2つの周期が次にいつ重なるか」「余りなく同じ数ずつ配れるのは何人か」を、倍数・約数で求められるようになります。定期点検の日程や、備品・資料を配る計画で使います。

倍数

ある数に 1, 2, 3, … をかけてできる数。4 の倍数は 4, 8, 12, …。

約数

ある数をわり切ることができる数。12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12。

公倍数・最小公倍数

2つの数のどちらの倍数にもなっている数と、そのうちいちばん小さい数。

公約数・最大公約数

2つの数のどちらもわり切れる数と、そのうちいちばん大きい数。

倍数は「その数ずつ数えていったときに出てくる数」です。4日ごとの作業は、4日後・8日後・12日後…に行われます。なお、2 の倍数を偶数、2 の倍数でない整数を奇数といいます。

4日ごとの作業と6日ごとの作業が同じ日になるのは、4 の倍数でも 6 の倍数でもある日（公倍数）です。次に重なるのは、そのうちいちばん小さい 12日後（最小公倍数）です（図）。

約数は反対に「その数をわり切れる数」です。ペン 12本とメモ帳 18冊を、何人かに余りなく同じ数ずつ配るには、人数で 12 も 18 もわり切れる必要があります。どちらもわり切れる数（公約数）は 1, 2, 3, 6 で、いちばん多く配れるのは 6人（最大公約数）です。

2つの数をかけた $4 \times 6 = 24$ も公倍数ですが、最小とは限りません。「重なる・そろう」なら倍数、「余りなく分ける」なら約数、と場面から見分けましょう。

ポイント

最小公倍数: 大きいほうの数の倍数を小さい順に調べ、小さいほうの数でわり切れる最初の数

最大公約数: 小さいほうの数の約数を大きい順に調べ、もう一方もわり切れる最初の数

「くり返しが重なる」→ 最小公倍数、「余りなく同じ数ずつ分ける」→ 最大公約数

解き方の手順

1. 場面を読み、「重なる日・そろう長さ」なら公倍数、「余りなく同じ数ずつ分ける」なら公約数だと決めます。
2. 最小公倍数なら、大きいほうの数の倍数（×1, ×2, ×3, …）を順に書き出します。
3. その中で、小さいほうの数でもわり切れる最初の数が答えです。
4. 最大公約数なら、小さいほうの数の約数を大きい順に調べ、もう一方もわり切れる最初の数を答えます。