二次方程式の練習問題

考え方

$x^{2}$ をふくむ二次方程式を、因数分解・平方根・解の公式で解けるようになります。面積から辺の長さを逆算するなど、「2乗」が出てくる関係を解くときに使います。

二次方程式

すべての項を左辺に移して整理すると、$ax^{2} + bx + c = 0$（$a \neq 0$）の形になる方程式。

解の公式

どんな二次方程式でも、係数 a、b、c から解を求められる公式。

二次方程式の解は、ふつう2つあります。$x^{2} = 9$ なら、$3^{2} = 9$ も $(-3)^{2} = 9$ も成り立つので、$x = 3, -3$（まとめて $x = \pm 3$）です。

左辺を因数分解できるときは、「$AB = 0$ ならば $A = 0$ または $B = 0$」を使います。$x^{2} - x - 6 = 0$ は $(x + 2)(x - 3) = 0$ なので、$x + 2 = 0$ または $x - 3 = 0$ で、$x = -2, 3$ です。

両辺を x で割ってはいけません。$x^{2} = 5x$ を x で割ると $x = 5$ しか残らず、$x = 0$ の解を失います。$x^{2} - 5x = 0$ と移項して $x(x - 5) = 0$ とすれば、$x = 0, 5$ と両方求まります。

因数分解できないときは、解の公式を使います。a、b、c を符号ごと代入し、√ の中を簡単にして、約分できれば約分します。

ポイント

$AB = 0$ ならば $A = 0$ または $B = 0$

$x^{2} = k$（$k > 0$）ならば $x = \pm\sqrt{k}$

解の公式: $ax^{2} + bx + c = 0$ の解は $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

両辺を x で割らない（$x = 0$ の解を失う）

解き方の手順

1. すべての項を左辺に移して、$ax^{2} + bx + c = 0$ の形に整理します。
2. 左辺を因数分解できるか考えます（共通因数 x があれば x でくくる）。
3. 因数分解できたら、それぞれの因数 = 0 から解を求めます。
4. できなければ、解の公式に a、b、c を符号ごと代入し、√ を簡単にして約分します。
5. 解は「$x = 2, -3$」のように、すべて答えます。