因数分解の練習問題

考え方

展開の逆、つまり式を「かけ算の形」に直す因数分解ができるようになります。二次方程式を解いたり、$99^{2} - 1$ のような計算を楽にしたりするときの道具です。

因数

かけ算をつくっている1つ1つの数や式。$(x + 2)(x + 3)$ の因数は $x + 2$ と $x + 3$ です。

因数分解

多項式を、いくつかの因数のかけ算の形に表すこと。

共通因数

すべての項にふくまれている因数。

展開 $(x + 2)(x + 3) = x^{2} + 5x + 6$ を逆にたどるのが因数分解です。面積図でいえば、4つの部分の面積から、もとの長方形の縦と横を見つける作業です。

最初に、すべての項に共通な因数があればくくり出します。$3x^{2} - 12 = 3(x^{2} - 4)$ のようにしてから、かっこの中をさらに因数分解できないか見ます。

$x^{2} + px + q$ の形は、「かけて q、足して p」になる2つの数 a、b を探して $(x + a)(x + b)$ とします。かけて q になる組を先に書き出すと見つけやすく、q が正なら2数は同じ符号、負なら異なる符号です。

「2乗 − 2乗」の形は $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ です。最後に展開して、もとの式に戻るか必ず確かめます。

ポイント

$ma + mb = m(a + b)$（共通因数をくくり出す）

$x^{2} + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)$

$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$

$a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$、$a^{2} - 2ab + b^{2} = (a - b)^{2}$

解き方の手順

1. すべての項に共通な因数があれば、先にくくり出します。
2. かっこの中の形を見て、使う公式を決めます（2乗 − 2乗か、$x^{2} + px + q$ か）。
3. $x^{2} + px + q$ なら、かけて q になる整数の組を書き出し、その中から足して p になる組を選びます。
4. 因数分解した式を展開して、もとの式に戻るか確かめます。