式の展開（乗法公式）の練習問題

考え方

$(x + a)(x + b)$ や $(a + b)^{2}$ のような式のかけ算を、乗法公式を使って手早く展開できるようになります。売り場や部屋の広さを変えたときの面積を式で表したり、$102^{2}$ のような計算を暗算で工夫したりするときに使えます。

展開

かっこをふくむ式のかけ算をして、単項式の和の形に表すこと。

乗法公式

よく出てくる形の展開の結果を、公式としてまとめたもの。

定数項

文字をふくまない、数だけの項。

$(a + b)(c + d)$ は、前のかっこのそれぞれの項と、後ろのかっこのそれぞれの項を、全部かけて足します（$ac + ad + bc + bd$）。長方形を4つに分けて、面積を足すのと同じです。

$(x + 3)(x + 2)$ を面積図で見ると、$x^{2}$、$3x$、$2x$、$6$ の4つに分かれます。まとめると $x^{2} + 5x + 6$ で、「足した数 $3 + 2$ が x の係数、かけた数 $3 \times 2$ が定数項」になっています。

$(a + b)^{2}$ では、真ん中の長方形 ab が2つできるので $a^{2} + 2ab + b^{2}$ です。$a^{2} + b^{2}$ だけにしないよう注意します。

負の数をふくむときは、符号ごと公式に当てはめます。$(x - 3)(x + 5)$ は $a = -3$、$b = 5$ と考えて $x^{2} + 2x - 15$ です。

ポイント

$(x + a)(x + b) = x^{2} + (a + b)x + ab$

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$、$(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$

$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$

解き方の手順

1. 式の形を見て、どの乗法公式が使えるかを選びます。
2. 公式の a、b にあたるものを、符号ごと書き出します（$x - 4$ なら $-4$）。
3. 公式に当てはめて、各項を計算します（$(3x)^{2} = 9x^{2}$ のように、係数も2乗します）。
4. 同類項をまとめ、次数の高い順に並べます。