展開と因数分解（発展）の練習問題

考え方

$x^{2}$ の係数が 1 でない2次式の因数分解（たすき掛け）と、3次式の公式が使えるようになります。二次方程式・二次不等式を解いたり、式を整理して計算を楽にしたりするときの土台です。

展開

かっこをはずして、項の足し算の形にすることです。

因数分解

展開の逆で、式をかけ算（因数の積）の形に直すことです。

たすき掛け

係数を斜めにかけ合わせて、$acx^{2} + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$ の組を探す方法です。

$(2x + 1)(x + 3)$ を展開すると、$2x^{2} + 6x + x + 3 = 2x^{2} + 7x + 3$ になります。因数分解は、この逆に $2x^{2} + 7x + 3$ からもとのかけ算 $(2x + 1)(x + 3)$ を見つける作業です。

展開した式を見ると、$x^{2}$ の係数 2 は「x の係数どうしの積」（$2 \times 1$）、定数項 3 は「数どうしの積」（$1 \times 3$）です。x の係数 7 は、斜めにかけた $2 \times 3$ と $1 \times 1$ の和になっています。

そこで、$x^{2}$ の係数と定数項をそれぞれ2つの数のかけ算に分け、斜めにかけて足すと x の係数になる組を探します。これがたすき掛けです。定数項が負なら、分けた2つの数は符号が異なります。

3次式には $(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ や $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ などの公式があります。式が複雑なときは、同じ部分を1つの文字におき換えると、知っている形になることがあります。

ポイント

たすき掛け: $acx^{2} + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)$

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$、$(a - b)^{3} = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$

$a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$、$a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$

解き方の手順

1. $x^{2}$ の係数を2つの数のかけ算に分けます（6 なら $1 \times 6$ か $2 \times 3$）。
2. 定数項を2つの数のかけ算に分けます。負の数なら異符号、正の数なら同符号の組です。
3. 斜めにかけて足し、x の係数になる組を探します。合わなければ組み合わせや並びを入れかえます。
4. 見つかった組を横に読んで $(ax + b)(cx + d)$ と書きます。
5. 答えを展開して、もとの式に戻るか確かめます。