式と証明の練習問題

考え方

$(2x - 1)^{5}$ のような式を全部展開しなくても、特定の項の係数を二項定理で求められるようになります。二項定理は、確率の二項分布や複利の近似計算にも出てくる基本の道具です。

二項定理

$(a + b)^{n}$ を展開したときの各項を表す公式です。

二項係数

展開したときの係数 ${}_n\mathrm{C}_r$ です。パスカルの三角形の数と一致します。

恒等式

x にどんな値を入れても成り立つ等式です。両辺の同じ次数の係数が等しくなります。

$(a + b)^{3} = (a + b)(a + b)(a + b)$ を展開するときは、3つのかっこから a か b を1つずつ選んでかけ合わせ、それを全部足します。$ab^{2}$ になるのは3つのかっこのうち b を選ぶ2つを決めたときで、その決め方は ${}_3\mathrm{C}_2 = 3$ 通りです。だから $ab^{2}$ の係数は 3 になります。

同じように考えると、$(a + b)^{n}$ の展開で $a^{n - r}b^{r}$ の項の係数は ${}_n\mathrm{C}_r$ です。これを二項定理といい、係数を並べると、上の段の2つの数の和が下の段の数になる「パスカルの三角形」ができます。

$(2x - 1)^{5}$ のように、かっこの中に係数や負の数があるときは、$2x$ と $-1$ をそれぞれ1つのかたまりとして当てはめます。係数は ${}_n\mathrm{C}_r$ に、x の係数の累乗と定数の累乗をかけたものです。負の数の累乗は、奇数乗なら負、偶数乗なら正です。

この単元では、ほかに整式のわり算、分数式、恒等式（両辺の係数を比べる）、等式・不等式の証明も学びます。不等式の証明は、「左辺 − 右辺」を2乗の形に直して 0 以上であることを示すのが基本です。

ポイント

$(a + b)^{n} = {}_n\mathrm{C}_0\,a^{n} + {}_n\mathrm{C}_1\,a^{n-1}b + \cdots + {}_n\mathrm{C}_r\,a^{n-r}b^{r} + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n\,b^{n}$

$(px + q)^{n}$ の $x^{r}$ の係数: ${}_n\mathrm{C}_r\,p^{r}q^{n-r}$

恒等式なら、両辺の同じ次数の項の係数が等しい

相加平均と相乗平均: $a > 0$、$b > 0$ のとき $\dfrac{a + b}{2} \ge \sqrt{ab}$

解き方の手順

1. $(px + q)^{n}$ の形で、p（x の係数）・q（定数項）・n を確かめます。
2. 求める $x^{r}$ の r を決めます（x の側を r 個、定数の側を $n - r$ 個選ぶ）。
3. ${}_n\mathrm{C}_r$ を計算します。
4. ${}_n\mathrm{C}_r \times p^{r} \times q^{n-r}$ を計算します。負の数の累乗の符号に注意します。