剰余の定理・因数定理と高次方程式の練習問題

考え方

実際にわり算をしなくても余りを求めたり、3次方程式を「解を1つ見つけて2次方程式に落とす」方法で解いたりできるようになります。設計や物理で出てくる高次の式を扱う基本です。

剰余の定理

整式 $P(x)$ を $x - \alpha$ でわった余りは $P(\alpha)$ です。

因数定理

$P(\alpha) = 0$ なら、$P(x)$ は $x - \alpha$ でわり切れます（$x - \alpha$ を因数にもちます）。

組立除法

$x - \alpha$ でわる計算を、係数だけを並べて素早く行う方法です。

整式 $P(x)$ を $x - \alpha$ でわった商を $Q(x)$、余りを R とすると、$P(x) = (x - \alpha)Q(x) + R$ と書けます。ここに $x = \alpha$ を代入すると、$x - \alpha = 0$ なので $P(\alpha) = R$ です。つまり、余りは $P(\alpha)$ を計算するだけで分かります（剰余の定理）。

わる式が $x + 2$ のときは、$x + 2 = x - (-2)$ なので $\alpha = -2$ です。「わる式が 0 になる x を代入する」と覚えると、符号を間違えません。負の数は、かっこに入れて代入しましょう。

とくに $P(\alpha) = 0$ なら余りが 0、つまり $P(x)$ は $x - \alpha$ でわり切れます（因数定理）。3次方程式は、$P(\alpha) = 0$ となる α を1つ見つけて $P(x) = (x - \alpha) \times$（2次式）と分ければ、残りは二次方程式として解けます。

α の候補は、$x^{3}$ の係数が 1 なら、定数項の約数（プラスとマイナス）です。$\pm 1, \pm 2, \ldots$ と小さい数から代入して探します。

ポイント

$P(x) = (x - \alpha)Q(x) + R$（Q は商、R は余り）

剰余の定理: $P(x)$ を $x - \alpha$ でわった余りは $P(\alpha)$

因数定理: $P(\alpha) = 0$ なら、$P(x)$ は $x - \alpha$ でわり切れる

解の候補（$x^{3}$ の係数が 1 のとき）: $\pm$（定数項の約数）

解き方の手順

1. 余りを聞かれたら、わる式が 0 になる x（α）を $P(x)$ に代入し、$P(\alpha)$ を計算します。
2. 方程式なら、定数項の約数 $\pm 1, \pm 2, \ldots$ を代入して、$P(\alpha) = 0$ となる α を探します。
3. $P(x)$ を $x - \alpha$ でわり（筆算か組立除法）、商の2次式を求めます。
4. 2次式を因数分解（または解の公式）して残りの解を求め、「x = 1, -2, 3」のように並べて答えます。