接線・増減・極値の練習問題

考え方

導関数を使って、曲線の接線の方程式を求めたり、関数が増える区間・減る区間と極大・極小を調べたりできるようになります。費用や利益が最小・最大になる生産量を探すときなどに使います。

接線

曲線にある1点でふれる直線です。傾きはその点での微分係数です。

極大・極小

増加から減少に変わる点の値が極大値、減少から増加に変わる点の値が極小値です。

増減表

$f'(x)$ の符号と $f(x)$ の増減をまとめた表です。

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(a, f(a))$ における接線の傾きは、微分係数 $f'(a)$ です。傾き m で点 $(a, b)$ を通る直線は $y - b = m(x - a)$ なので、接線の方程式は $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ になります。

$f'(x) > 0$ の区間では接線が右上がりなので、関数は増加しています。$f'(x) < 0$ の区間では減少しています。$f'(x) = 0$ となる x の前後で符号が変われば、そこで極大または極小になります。

$f'(x)$ の符号が + から − に変わる点が極大（山の頂上）、− から + に変わる点が極小（谷の底）です。$f'(x)$ の符号をまとめた増減表をかくと、グラフの形が分かります。

たとえば $f(x) = x^{3} - 3x$ なら、$f'(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$ です。符号を調べると、$x = -1$ で極大値 2、$x = 1$ で極小値 $-2$ をとります。

ポイント

接線: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

$f'(x) > 0$ の区間で増加、$f'(x) < 0$ の区間で減少

$f'(a) = 0$ で、前後の符号が + から − なら極大、− から + なら極小

解き方の手順

1. $f'(x)$ を求めます。
2. 接点の x 座標 a を代入して、傾き $f'(a)$ を求めます。接点の y 座標 $f(a)$ も確かめます。
3. $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ に代入します。
4. 展開して $y = mx + k$ の形に整理します。