微分の応用の練習問題

考え方

導関数 $f'(x)$ で増減を、第2次導関数 $f''(x)$ でグラフの曲がり方（凹凸）を調べ、最大・最小や「変化の山場（変曲点）」を求められるようになります。売上のピークの予測、コストの最小化、近似計算などに使います。

極大・極小

増加から減少に変わる点が極大、減少から増加に変わる点が極小です。

第2次導関数 $f''(x)$

$f'(x)$ をもう一度微分したものです。傾きがどう変わっていくかを表します。

凹凸

傾きが増えていく「下に凸」（お椀の形）と、傾きが減っていく「上に凸」（山の形）のことです。

変曲点

グラフの凹凸が入れかわる点です。その付近で、増え方・減り方がいちばん急になります。

$f'(x) > 0$ の範囲では f(x) は増加し、$f'(x) < 0$ の範囲では減少します。$f'(x) = 0$ となる点の前後で、符号が正から負に変われば極大、負から正に変われば極小です。範囲の端の値とも比べて、最大・最小を決めます。

$f'(x)$ をもう一度微分した $f''(x)$ は、「傾きの増え方」を表します。$f''(x) > 0$ なら下に凸（お椀の形）、$f''(x) < 0$ なら上に凸（山の形）です。$f''(x)$ の符号が変わる点が変曲点です。

例えば $f(t) = te^{-t}$ は、積の微分で $f'(t) = (1 - t)e^{-t}$ です。$e^{-t}$ はつねに正なので符号は $1 - t$ で決まり、t = 1 で極大（最大）になります。さらに $f''(t) = (t - 2)e^{-t}$ なので、t = 2 が変曲点で、そこで減り方がいちばん急になります（下の図）。

極値は $f'$ の符号の変わり目、変曲点は $f''$ の符号の変わり目です。どちらを聞かれているのかを最初に確かめましょう。また、x = a の近くでは、$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$ と接線で近似できます。

ポイント

$f'(x) > 0$ なら増加、$f'(x) < 0$ なら減少。$f'$ の符号が + から − に変わる点が極大、− から + が極小

$f''(x) > 0$ なら下に凸、$f''(x) < 0$ なら上に凸。$f''$ の符号が変わる点が変曲点

1次の近似: $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$（h が小さいとき）

解き方の手順

1. $f'(x)$ を求め、因数分解して符号を調べやすい形にします（$e^{\cdots}$ はつねに正です）。
2. $f'(x) = 0$ となる x を求め、その前後の符号から極大・極小を決めます。
3. 変曲点を聞かれたら $f''(x)$ を求め、$f''(x) = 0$ となり、前後で符号が変わる x を探します。
4. その x を $f(x)$ に代入して、点の座標 $(x, f(x))$ を答えます。