微分法（積・商・合成関数）の練習問題

考え方

積・商・合成関数の微分と、$e^{x}$・$\sin x$・$\log x$ の導関数を使って、いろいろな関数の変化の速さを計算できるようになります。機械学習の学習（誤差逆伝播法）や、物理・経済の変化率の計算の中心にある道具です。

導関数 $f'(x)$

各点での変化の速さ（接線の傾き）を表す関数です。

合成関数

$(3x + 1)^{4}$ や $e^{2x}$ のように、関数の中に別の関数（内側）が入った関数です。

自然対数 $\log x$

底が $e$（$= 2.718\ldots$）の対数です。数学 III では、$\log x$ と書けば自然対数を表します。

数学 II では $(x^{n})' = nx^{n-1}$ を学びました。数学 III では、$(e^{x})' = e^{x}$、$(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$、$(\log x)' = \frac{1}{x}$ を加えます。$e^{x}$ は、微分しても形が変わらない特別な指数関数です。

積の微分は $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ です。縦 f・横 g の長方形で、縦と横が少しずつ伸びると、面積は2本の細長い帯の分だけ増えるので、2つの項の和になります（下の図）。「微分どうしの積」$f'(x)g'(x)$ ではありません。

商の微分は $\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}$ です。分子は引き算なので、順番を逆にしないよう注意します。

合成関数は、内側を $u = g(x)$ とおいて「外側の微分 × 内側の微分」で微分します。$(3x + 1)^{4}$ なら、外側 $u^{4}$ の微分 $4u^{3}$ に、内側 $3x + 1$ の微分 3 をかけて $12(3x + 1)^{3}$ です。内側の微分のかけ忘れが、いちばん多いミスです。

ポイント

$(e^{x})' = e^{x}$、$(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$、$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$

積の微分: $\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

商の微分: $\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \dfrac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^{2}}$

合成関数の微分: $\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$（外側の微分 × 内側の微分）

解き方の手順

1. 式の形を見て、「積」「商」「合成（かっこの中・指数・sin の中が x の式）」のどれかを見分けます。
2. 積なら、2つの関数の導関数を先に求めておき、$f'g + fg'$ に当てはめます。
3. 合成なら、内側を u とおき、外側を u で微分してから、内側の微分（$ax + b$ なら a）をかけます。
4. 最後に式を整理します（共通の因数でくくってもかまいません）。