積分法（置換積分・部分積分）の練習問題

考え方

合成関数の微分・積の微分を逆にたどる「置換積分」「部分積分」を使って、そのままでは積分できない関数の不定積分を求められるようになります。面積・体積・確率・物理量を実際に計算するための技術です。

不定積分

微分すると $f(x)$ になる関数に、積分定数 C を付けたものです。$\int f(x)\,dx$ と書きます。

置換積分

式の一部を t とおいて、t の積分に置きかえる方法です（合成関数の微分の逆）。

部分積分

積の微分の公式を逆に使う方法です。「x × 指数関数・三角関数」の形によく使います。

積分は微分の逆です。$F'(x) = f(x)$ なら $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ で、C は積分定数です。微分すると定数は消えるので、答えには必ず C を付けます。

置換積分は、合成関数の微分の逆です。$\int x(x^{2} + 1)^{3}\,dx$ なら、かっこの中を $t = x^{2} + 1$ とおくと、$\frac{dt}{dx} = 2x$ より $x\,dx = \frac{1}{2}\,dt$ と置きかえられます。すると $\int \frac{1}{2}t^{3}\,dt = \frac{t^{4}}{8} + C$ となり、t を戻して $\frac{(x^{2} + 1)^{4}}{8} + C$ です。

置換積分の目印は、「中身の微分」（ここでは 2x）が、定数倍を除いて外にかかっていることです。もし外の x がなければ、この置きかえはできません。

部分積分は、積の微分 $(fg)' = f'g + fg'$ の両辺を積分して移項した $\int fg'\,dx = fg - \int f'g\,dx$ を使います。$x \times e^{x}$ や $x \times \sin x$ では、x を f（微分する側）にすると $f' = 1$ となり、残りの積分が簡単になります。

答えは、微分してもとの関数に戻るかで確かめられます。積の積分を「それぞれの積分の積」にすることはできないので注意しましょう。

ポイント

$\displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（$n \ne -1$）、$\displaystyle\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$

$\displaystyle\int \cos kx\,dx = \frac{1}{k}\sin kx + C$、$\displaystyle\int \sin kx\,dx = -\frac{1}{k}\cos kx + C$

置換積分: $t = g(x)$ とおくと $\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(t)\,dt$

部分積分: $\displaystyle\int f(x)g'(x)\,dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\,dx$

解き方の手順

1. 形を見分けます。「中身の微分」が外にかかっていれば置換積分、「x × 指数関数・三角関数」なら部分積分です。
2. 置換積分: 中身を t とおき、$\frac{dt}{dx}$ から「$x\,dx = \square\,dt$」の形を作って、t だけの式にして積分します。最後に t を x の式に戻します。
3. 部分積分: x を $f(x)$、残りを $g'(x)$ とし、$g(x)$ を求めてから公式に当てはめます。
4. 答えに積分定数 C を付け、微分してもとの関数に戻るか確かめます。