積分の応用（面積・体積・長さ）の練習問題

考え方

定積分を使って、曲線で囲まれた図形の面積、回転体の体積、曲線の長さを求められるようになります。池や川の断面積、タンクの容量、ケーブルの長さなど、曲がった形の量を測るときに使います。

定積分 $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

x = a から x = b までの、グラフと x 軸の間の面積を、x 軸より下の部分は負として足し合わせたものです。

回転体

平面図形を、ある直線（軸）のまわりに1回転させてできる立体です。

定積分 $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ は、グラフと x 軸の間を、幅がごく小さい長方形（高さ f(x)）に分けて足し合わせたものです。f(x) > 0 の部分は正、x 軸より下の部分は負として数えられます。

面積は正の値なので、x 軸より下にある部分は、定積分にマイナスをつけて $-\int_{a}^{b} f(x)\,dx$ とします。2つのグラフにはさまれた部分なら、「上の式 − 下の式」を積分します。どちらの場合も、まず交点を求めて積分の範囲を決めます。

放物線 $y = (x - \alpha)(x - \beta)$ と x 軸で囲まれた部分には、$\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{(\beta - \alpha)^{3}}{6}$ という公式があります。この値は負なので、面積は $\frac{(\beta - \alpha)^{3}}{6}$ です（下の図）。

体積は「断面積 × ごく薄い厚み」を足し合わせて求めます。$y = f(x)$ を x 軸のまわりに回転すると、断面は半径 |f(x)| の円なので $V = \pi\int_{a}^{b} \{f(x)\}^{2}\,dx$ です。曲線の長さも、小さな斜めの線分 $\sqrt{1 + \{f'(x)\}^{2}}\,dx$ を足し合わせて求めます。

ポイント

面積: x 軸より上なら $S = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$、x 軸より下なら $S = -\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x - \alpha)(x - \beta)\,dx = -\frac{(\beta - \alpha)^{3}}{6}$

回転体の体積（x 軸のまわり）: $V = \pi\displaystyle\int_{a}^{b} \{f(x)\}^{2}\,dx$

曲線の長さ: $L = \displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{1 + \{f'(x)\}^{2}}\,dx$

解き方の手順

1. 曲線と x 軸（または2つの曲線）の交点を求め、積分の範囲を決めます。
2. その範囲で、グラフが x 軸より上か下かを確かめます（範囲の中の1点を代入してみます）。
3. 定積分を計算します（放物線と x 軸なら $\frac{1}{6}$ の公式も使えます）。
4. x 軸より下の部分はマイナスをつけて、面積を正の値で答えます。分数は約分します。