重積分と変数変換の練習問題

考え方

平面の領域の上で関数を積分する重積分を、1変数の積分を2回くり返す（累次積分）ことで計算できるようになります。人口密度から地域の人口を出す、面積あたりの量から総量を出す、確率の計算などに使います。

重積分 $\displaystyle\iint_D f(x, y)\,dx\,dy$

領域 $D$ を細かく区切り、「各点の値 × 小さな面積」を足し合わせた量。$f$ が密度なら総量になる。

累次積分

まず一方の変数で積分し、その結果をもう一方の変数で積分する計算のしかた。

ヤコビアン

変数変換で、小さな面積が何倍になるかを表す値。極座標では $r$。

長方形の土地の、場所ごとの人口密度 $f(x, y)$（人/km²）が分かっているとき、土地全体の人口は「密度 × 小さな面積」を全部足したものです。これが重積分です。$f = 1$ なら、重積分は領域の面積そのものです。

計算は、まず $y$ を固定して $x$ 方向に足し（横の細い帯1本分）、次にその帯を $y$ 方向に足します。内側で $x$ で積分するとき、$y$ は定数として扱います。定数 $k$ を $x$ で積分すると $kx$ になる点に注意します。

長方形の領域なら、積分の順番を入れかえても同じ値になります。内側の積分の結果は $y$ だけの式になり、それを外側で普通に積分します。

円や扇形の領域では、極座標 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ に変換すると楽になります。このとき小さな面積は $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ と $r$ 倍になります（中心から離れるほど、同じ角度の扇形は広いため）。

ポイント

長方形 $D: a \le x \le b,\ c \le y \le d$ では $\displaystyle\iint_D f\,dx\,dy = \int_c^d\left(\int_a^b f(x, y)\,dx\right)dy$

$x$ で積分するとき $y$ は定数: $\displaystyle\int_0^{w} y\,dx = wy$

極座標: $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$（ヤコビアン $\left|\dfrac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}\right| = r$）

解き方の手順

1. 領域 $D$ の $x$ と $y$ の範囲を書き出す。
2. 内側: $y$ を定数とみなして、$f(x, y)$ を $x$ の範囲で積分する（結果は $y$ の式）。
3. 外側: その結果を $y$ の範囲で積分する。
4. 値の意味（人口・質量など）と単位を確かめる。