行列式の練習問題

考え方

行列式を計算し、それが「変換で面積や体積が何倍になるか」を表すこと、0 なら逆行列がないことが分かるようになります。CG の変換、連立方程式の解の有無、多変数の変数変換（ヤコビアン）で使います。

行列式 $\det A$

正方行列から決まる1つの数。2×2 なら $ad - bc$。$|A|$ とも書く。

サラスの方法

3×3 の行列式を、斜めに並ぶ3つの成分の積の足し引きで計算する方法。

行列 $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ は、平面の点を動かす変換です。1辺 1 の正方形は、列ベクトル $(a, c)$ と $(b, d)$ を2辺とする平行四辺形に移ります。その面積が $|ad - bc|$ で、これが行列式の絶対値の意味です。

符号は向きを表し、負なら図形が裏返ります。$\det A = 0$ なら平面が直線（または点）につぶれるので、元に戻す逆行列はありません。

すべての成分を $k$ 倍した $kA$ は、縦にも横にも $k$ 倍するので、2×2 では面積が $k^2$ 倍、つまり $\det(kA) = k^2\det A$ です（$n$ 次なら $k^n$ 倍）。行列式は、和や定数倍をそのまま外に出せる量ではありません。

3×3 の行列式は、立体の体積の拡大率です。サラスの方法では、右下がりの3本の積を足し、左下がりの3本の積を引きます。4×4 以上では、行基本変形や余因子展開を使います。

ポイント

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

サラスの方法: $\det\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi$

$\det(kA) = k^n\det A$（$n$ 次の正方行列）、$\det(AB) = \det A\,\det B$

$\det A \neq 0$ のときに限り $A^{-1}$ がある

解き方の手順

1. 2×2 なら $ad - bc$ を計算する（負の成分はかっこをつけてかける）。
2. 3×3 ならサラスの方法: 右下がりの積の和 $aei + bfg + cdh$ を計算する。
3. 左下がりの積の和 $ceg + afh + bdi$ を計算し、右下がりの和から引く。
4. $kA$ の行列式なら、$\det A$ に $k^n$（2×2 なら $k^2$）をかける。