行列の演算の練習問題

考え方

表の形に数を並べた行列の和・スカラー倍・積・転置を計算できるようになります。購入数 × 単価の集計、画像の回転や拡大の組み合わせ、表計算の MMULT 関数と同じ計算です。

行列

数を長方形に並べたもの。横の並びを行、縦の並びを列といい、$m$ 行 $n$ 列なら $m \times n$ 行列。

$(i, j)$ 成分

$i$ 行目・$j$ 列目にある数。

転置 $A^{\mathsf{T}}$

行と列を入れかえた行列。

和とスカラー倍は、同じ位置の成分どうしで計算します。和は同じ大きさの行列どうしでしか計算できません。

積 $AB$ の $(i, j)$ 成分は、$A$ の $i$ 行目と $B$ の $j$ 列目を「順にかけて足す」（内積）ことで求めます。顧客ごとの購入数（行）と商品ごとの単価（列）をかけて足すと支払額になる、という計算と同じです。

積が計算できるのは、左の行列の列の数と右の行列の行の数が等しいときだけです。$m \times n$ 行列と $n \times p$ 行列の積は $m \times p$ 行列になります。

行列の積は、順番を入れかえると一般に結果が変わります（$AB \neq BA$）。$AB$ は「$B$ の変換をしてから $A$ の変換をする」ことを表し、回転してから拡大するのと、拡大してから回転するのとが違うのと同じです。同じ位置の成分どうしをかけるだけでは、積になりません。

ポイント

$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae + bg & af + bh \\ ce + dg & cf + dh \end{pmatrix}$

大きさ: $m \times n$ 行列 × $n \times p$ 行列 = $m \times p$ 行列

一般に $AB \neq BA$。転置: $(AB)^{\mathsf{T}} = B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}$

解き方の手順

1. 大きさを確かめる（左の列の数 = 右の行の数か）。答えは（左の行の数）×（右の列の数）の行列になる。
2. $(1, 1)$ 成分: $A$ の1行目と $B$ の1列目を順にかけて足す。
3. ほかの成分も、行と列の組ごとに同じように計算する（負の数はかっこをつけてかける）。
4. 行列の形にまとめる。順番を入れかえた $BA$ と取り違えない。