連立一次方程式と掃き出し法の練習問題

考え方

未知数が3つ以上の連立一次方程式を、行基本変形（掃き出し法）で順序よく解き、解がいくつあるか（階数と自由度）を判断できるようになります。レシートからの単価の逆算や配合の計算、表計算のソルバーの中身にあたります。

拡大係数行列

連立方程式の係数と右辺を、1つの行列に並べたもの。

行基本変形

① 2つの行を入れかえる ② ある行を 0 でない数倍する ③ ある行の定数倍を別の行に足す。解を変えない操作。

階数（rank）

掃き出したあとに残る、0 でない行の数。本当に独立な式の本数にあたる。

中学で習った加減法は「式どうしを引いて文字を消す」操作でした。掃き出し法は、これを決まった順番で行うやり方です。1列目の文字を2行目以降から消し、次に2列目の文字を3行目以降から消し…と、左下を 0 にした階段の形にしていきます。

式どうしを引くときは、左辺だけでなく右辺（定数）も同じように引きます。拡大係数行列なら、最後の列まで含めて行全体を変形します。ここを忘れるのが、いちばん多い間違いです。

階段の形になったら、下の式から順に代入して解を求めます。未知数の数と階数が等しければ解はただ1つです。階数が未知数より少なければ、「未知数の数 − 階数」個の文字を自由に選べて、解は無数にあります。

途中で $0 = 5$ のような矛盾した行が出たら、その連立方程式には解がありません。

ポイント

行基本変形: 行の入れかえ・行を 0 でない数倍・ある行の定数倍を他の行に足す（右辺も一緒に）

解の自由度 = 未知数の数 − 階数（解があるとき）

解がある $\iff \operatorname{rank} A = \operatorname{rank}(A \mid \boldsymbol{b})$

解き方の手順

1. 係数がそろっている文字（たとえば $x$ の係数がすべて 1）に注目し、② − ①、③ − ① でその文字を消す（右辺も引く）。
2. 残った2式から、もう一方の文字を消して1つの文字を求める。
3. 求めた値を代入して残りの文字を求め、最後に ① に代入して最初の文字を求める。
4. 3つの式すべてに代入して確かめ、$(x, y, z)$ の形で答える。