ベクトル空間・一次独立・基底の練習問題

考え方

ベクトルの組が互いに重複した情報をもたないか（一次独立）を判定し、空間の「座標軸」にあたる基底と次元を求められるようになります。データ分析で、特徴量どうしの重複（多重共線性）を見つけるときの考え方です。

一次独立

$c_1\boldsymbol{a}_1 + \cdots + c_k\boldsymbol{a}_k = \boldsymbol{0}$ となるのが $c_1 = \cdots = c_k = 0$ のときだけであること。どれも残りの組み合わせで作れない。

一次従属

一次独立でないこと。どれかが残りの線形結合で書ける。

基底・次元

空間のどのベクトルもただ1通りに表せる、一次独立なベクトルの組が基底。基底のベクトルの本数が次元。

部分空間

足し算とスカラー倍をしても外に出ないベクトルの集まり（原点を通る直線や平面など）。

平面の2本のベクトルが平行でなければ、その組み合わせで平面のどこへでも行けます。3本目を加えても、それは最初の2本で作れてしまうので、新しい方向は増えません。この「新しい方向を増やすかどうか」が一次独立かどうかです。

3次元のベクトル3本なら、列に並べた行列の行列式で判定できます。行列式が 0 でなければ一次独立で、3本は $\mathbb{R}^3$ の基底になります。0 なら一次従属で、3本は平面か直線の中に収まっています。

張る空間の次元は、行列の階数（掃き出したあとに残る 0 でない行の数）です。階数 2 なら平面、1 なら直線です。

ベクトル空間は矢印に限りません。2次以下の多項式全体も、$\{1, x, x^2\}$ や $\{1, x - 2, (x - 2)^2\}$ を基底とする3次元の空間です。基底に関する座標とは、$p(x) = c_0 + c_1(x - 2) + c_2(x - 2)^2$ と表したときの係数の組 $(c_0, c_1, c_2)$ のことです。

ポイント

一次独立: $c_1\boldsymbol{a}_1 + c_2\boldsymbol{a}_2 + c_3\boldsymbol{a}_3 = \boldsymbol{0} \Rightarrow c_1 = c_2 = c_3 = 0$

$\det(\boldsymbol{a}_1\ \boldsymbol{a}_2\ \boldsymbol{a}_3) \neq 0$ なら一次独立（$\mathbb{R}^3$ の基底）

張る空間の次元 $= \operatorname{rank}(\boldsymbol{a}_1\ \boldsymbol{a}_2\ \boldsymbol{a}_3)$

基底に関する座標: $\boldsymbol{v} = c_1\boldsymbol{b}_1 + \cdots + c_n\boldsymbol{b}_n$ の係数 $(c_1, \ldots, c_n)$

解き方の手順

1. ベクトルを列に並べた行列を作る。
2. 3×3 なら行列式を計算する（サラスの方法）。0 でなければ一次独立で、次元は 3。
3. 0 なら行基本変形で階数を求める。平行でない2本があれば平面（2次元）、すべて平行なら直線（1次元）。
4. 多項式の座標を求めるときは、$x$ に中心の値を代入して $c_0$ を出し、両辺の係数を比べて残りを決める。