トップ 学び直しマップ 大学 集合と論理 集合と写像 考え方 データの変換や担当の割り当てを「集合から集合への対応（写像）」として捉え、像・逆像や、全射・単射を判定できるようになります。ID の重複チェックや、割り当て漏れの確認と同じ考え方です。
写像 f : A → B f: A \to B f : A → B 集合 A A A B B B A A A 像 f ( A ) f(A) f ( A ) A A A f f f 逆像 f − 1 ( B ) f^{-1}(B) f − 1 ( B ) f f f B B B
単射・全射 単射は行き先が重ならないこと、全射は行き先の集合に矢印の来ない要素がないこと。両方なら全単射です。 集合は「もの」の集まり、写像はその集まりどうしをつなぐ矢印です。問い合わせ（集合 A A A B B B f : A → B f: A \to B f : A → B
像 f ( A ) f(A) f ( A ) f − 1 ( B ) f^{-1}(B) f − 1 ( B ) f f f B B B f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 f − 1 ( { 4 } ) f^{-1}(\{4\}) f − 1 ({ 4 }) − 2 -2 − 2 2 2 2
逆像を探すときは、見つけた x x x A A A x 2 = 9 x^2 = 9 x 2 = 9 A A A − 3 -3 − 3 − 3 -3 − 3
単射は「異なる要素は異なる先へ移る」、つまり1人の担当者に2件以上が集まらないことです。全射は「行き先のどの要素にも矢印が来る」、つまり担当のない人がいないことです。A A A B B B B B B
f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } \{-2, -1, 0, 1, 2\} { − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } \{0, 1, 2, 3, 4\} { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } ポイント 像: f ( A ) = { f ( x ) ∣ x ∈ A } f(A) = \{f(x) \mid x \in A\} f ( A ) = { f ( x ) ∣ x ∈ A }
逆像: f − 1 ( B ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B } f^{-1}(B) = \{x \in A \mid f(x) \in B\} f − 1 ( B ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B }
単射: f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 y ∈ B y \in B y ∈ B f ( x ) = y f(x) = y f ( x ) = y x ∈ A x \in A x ∈ A
解き方の手順 定義域 A A A f ( x ) f(x) f ( x ) 像は、届いた先を重複なしで集める。逆像は、f ( x ) f(x) f ( x ) B B B x x x A A A x 2 = k x^2 = k x 2 = k 単射か: 2本以上の矢印が届く先がないかを調べる。 全射か: 矢印が1本も届かない先がないかを調べる。 例
A = { − 3 , − 1 , 0 , 2 , 3 } A = \{-3, -1, 0, 2, 3\} A = { − 3 , − 1 , 0 , 2 , 3 } f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 f ( A ) f(A) f ( A ) f − 1 ( { 1 , 4 , 9 } ) f^{-1}(\{1, 4, 9\}) f − 1 ({ 1 , 4 , 9 })
f ( − 3 ) = 9 f(-3) = 9 f ( − 3 ) = 9 f ( − 1 ) = 1 f(-1) = 1 f ( − 1 ) = 1 f ( 0 ) = 0 f(0) = 0 f ( 0 ) = 0 f ( 2 ) = 4 f(2) = 4 f ( 2 ) = 4 f ( 3 ) = 9 f(3) = 9 f ( 3 ) = 9 像: 届いた先を重複なしで集めて f ( A ) = { 0 , 1 , 4 , 9 } f(A) = \{0, 1, 4, 9\} f ( A ) = { 0 , 1 , 4 , 9 } 逆像: x 2 x^2 x 2 x x x A A A − 3 , − 1 , 2 , 3 -3, -1, 2, 3 − 3 , − 1 , 2 , 3 1 1 1 − 2 -2 − 2 A A A 答え: f ( A ) = { 0 , 1 , 4 , 9 } f(A) = \{0, 1, 4, 9\} f ( A ) = { 0 , 1 , 4 , 9 } f − 1 ( { 1 , 4 , 9 } ) = { − 3 , − 1 , 2 , 3 } f^{-1}(\{1, 4, 9\}) = \{-3, -1, 2, 3\} f − 1 ({ 1 , 4 , 9 }) = { − 3 , − 1 , 2 , 3 } f ( − 3 ) = f ( 3 ) f(-3) = f(3) f ( − 3 ) = f ( 3 ) よくある間違い 練習問題でこの間違い方をしたときは、その場でお伝えします。
単射と全射の取り違え 「異なる要素が異なる要素に移る（単射）」と「行き先のどの要素にも移ってくる要素がある（全射）」を取り違える。 単射は「行き先が重ならない」、全射は「行き先の集合に、矢印が来ない要素がない」ことです。矢印図で1つずつ確かめましょう。 像と逆像の取り違え 逆像 f⁻¹(B)（f で移すと B に入る要素の集合）を求めるところで、B の要素に f をほどこして像 f(B) を計算する（またはその逆）。 逆像 f⁻¹(B) は「f で移すと B に入る、定義域の要素」の集まりです。B の要素に f をほどこすのではなく、f(x) が B に入る x を探しましょう。 売上予測の誤差 x x x f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 A = { − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 } A = \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} A = { − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 }
問い 写像 f : A → Z f: A \to \mathbb{Z} f : A → Z f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 B = { 1 , 16 } B = \{1, 16\} B = { 1 , 16 } f − 1 ( B ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B } f^{-1}(B) = \{x \in A \mid f(x) \in B\} f − 1 ( B ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B }
途中の式 逆像 f − 1 ( B ) f^{-1}(B) f − 1 ( B ) f ( x ) f(x) f ( x ) B B B A A A x x x f ( x ) = 1 f(x) = 1 f ( x ) = 1 x = ± 1 x = \pm 1 x = ± 1 A A A f ( x ) = 16 f(x) = 16 f ( x ) = 16 x = ± 4 x = \pm 4 x = ± 4 A A A x = − 4 x = -4 x = − 4 よって f − 1 ( B ) = { − 4 , − 1 , 1 } f^{-1}(B) = \{-4, -1, 1\} f − 1 ( B ) = { − 4 , − 1 , 1 } 参考: 像は f ( A ) = { 0 , 1 , 4 , 9 , 16 } f(A) = \{0, 1, 4, 9, 16\} f ( A ) = { 0 , 1 , 4 , 9 , 16 } f ( − 1 ) = f ( 1 ) f(-1) = f(1) f ( − 1 ) = f ( 1 ) f f f 答え f⁻¹(B) の要素（例: 1, 5 のように並べる。ないときは「なし」）は x = − 4 , − 1 , 1 x = -4, -1, 1 x = − 4 , − 1 , 1
一緒にやる
小さく分けて、一緒に解く
1つずつ答えを確かめながら進みます。間違えても大丈夫です。
売上予測の誤差 x x x f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 A = { − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 } A = \{-3, -2, -1, 0, 1, 2\} A = { − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }
写像 f : A → Z f: A \to \mathbb{Z} f : A → Z f ( x ) = x 2 f(x) = x^2 f ( x ) = x 2 B = { 4 , 9 } B = \{4, 9\} B = { 4 , 9 } f − 1 ( B ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B } f^{-1}(B) = \{x \in A \mid f(x) \in B\} f − 1 ( B ) = { x ∈ A ∣ f ( x ) ∈ B }
小さな問いに分けて、1つずつ一緒に進めます。
ステップ 1 / 4
まず像 f ( A ) = { f ( x ) ∣ x ∈ A } f(A) = \{f(x) \mid x \in A\} f ( A ) = { f ( x ) ∣ x ∈ A } f ( A ) f(A) f ( A )
自分でやる
練習問題
数字は毎回変わります。2〜3問続けて解けたら、次の単元や元のレッスンに進みましょう。