分数関数・無理関数・逆関数・合成関数の練習問題

考え方

分数関数・無理関数のグラフを読み、「出力から入力を逆算する」逆関数と、「処理を続けて行う」合成関数を式で求められるようになります。単位の変換と逆変換や、表計算で関数を入れ子にする計算と同じ考え方です。

分数関数

$y = \frac{k}{x - p} + q$ のように、分母に x がある関数です。

無理関数

$y = \sqrt{ax + b}$ のように、√ の中に x がある関数です。

逆関数 $f^{-1}$

$y = f(x)$ の入力と出力を入れかえた関数です。

合成関数 $g \circ f$

先に f、続けて g を行う関数です。$(g \circ f)(x) = g(f(x))$

分数関数 $y = \frac{k}{x - p} + q$ のグラフは、反比例 $y = \frac{k}{x}$ のグラフを x 方向に p、y 方向に q だけ平行移動したもので、直線 $x = p$ と $y = q$ に限りなく近づきます（漸近線）。無理関数 $y = \sqrt{a(x - p)}$ も、$y = \sqrt{ax}$ を平行移動したグラフです。

逆関数は、入力と出力を入れかえた関数です。例えば摂氏を華氏に直す $f(x) = 1.8x + 32$ の逆関数は、華氏を摂氏に戻す関数です。求め方は、$y = f(x)$ を x について解き、最後に x と y を入れかえます。グラフは直線 $y = x$ について対称になります（下の図）。

$f^{-1}$ の「−1」は逆関数を表す記号で、逆数 $\frac{1}{f(x)}$ ではありません。分数関数では、分母をはらってから、x をふくむ項を左辺に集めます。移項した項の符号の変え忘れに注意しましょう。

合成関数 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ は「先に f、その結果を g に入れる」計算です。$g(x)$ の x のところに、$f(x)$ の式をかっこごと代入します。$g \circ f$ と $f \circ g$ はふつう違う関数になるので、順番に気をつけましょう。

ポイント

分数関数 $y = \dfrac{k}{x - p} + q$: 漸近線は $x = p$ と $y = q$

逆関数: $y = f(x)$ を x について解き、x と y を入れかえる（グラフは直線 $y = x$ について対称）

合成関数: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$（先に f、あとで g）

解き方の手順

1. 逆関数: $y = f(x)$ とおき、分母があれば両辺にかけて分母をはらいます。
2. x をふくむ項を左辺、ふくまない項を右辺に移項し（符号を変える）、x でくくって「x = y の式」にします。
3. x と y を入れかえて $f^{-1}(x)$ とします。
4. 合成関数 $g(f(x))$: $g(x)$ の x に $f(x)$ をかっこごと代入し、展開して整理します。