二次関数のグラフの練習問題

考え方

$y = 2x^{2} + 8x + 5$ のような二次関数を平方完成して、グラフ（放物線）の頂点と軸を求められるようになります。頂点が分かると、売上や面積が最大・最小になる点がすぐに分かります。

放物線

二次関数のグラフです。ボールを投げたときの軌道のような、左右対称の曲線です。

頂点・軸

放物線のいちばん下（または上）の点が頂点、頂点を通る縦の対称の線が軸です。

平方完成

$x^{2} + 2mx + \cdots$ を $(x + m)^{2} + \cdots$ の形に直すことです。

$y = x^{2}$ のグラフは、原点 $(0, 0)$ を頂点とする谷の形（下に凸）の放物線です。$y = (x - 2)^{2} - 3$ は、これを x 方向に 2、y 方向に $-3$ だけ平行移動したグラフで、頂点は $(2, -3)$ になります。

$(x - 2)^{2}$ は $x = 2$ のときに最小の 0 になり、そのとき $y = -3$ だからです。かっこの中が 0 になる x が軸の位置です。$(x - 2)^{2}$ を見て頂点の x 座標を $-2$ としてしまうミスが多いので、「かっこの中が 0 になる x」で確かめましょう。

$y = x^{2} - 6x + 5$ のように展開された式では、頂点がすぐには読めません。$x^{2} - 6x = (x - 3)^{2} - 9$ を使って $y = (x - 3)^{2} - 4$ と直すと、頂点 $(3, -4)$ が分かります。この変形を平方完成といいます。

$x^{2}$ の係数 a が 1 でないときは、先に a で x の項までをくくってから平方完成します。a が正なら谷の形（下に凸）、負なら山の形（上に凸）になります。

ポイント

$y = a(x - p)^{2} + q$ の頂点は $(p, q)$、軸は直線 $x = p$

平方完成: $x^{2} + 2mx = (x + m)^{2} - m^{2}$

$a > 0$ なら下に凸（谷の形）、$a < 0$ なら上に凸（山の形）

解き方の手順

1. $x^{2}$ の係数 a が 1 でなければ、x の項までを a でくくります。
2. かっこの中を $x^{2} + 2mx = (x + m)^{2} - m^{2}$ で平方完成します（m は x の係数の半分）。
3. かっこをはずして整理し、$y = a(x - p)^{2} + q$ の形にします。
4. 頂点は $(p, q)$ です。かっこの中が 0 になる x が p なので、符号に注意して答えます。