二次関数の最大・最小の練習問題

考え方

値上げすると売れる数が減る、といった関係から、売上が最大になる価格を二次関数で求められるようになります。面積を最大にする寸法や、費用を最小にする条件を考えるときにも使います。

最大値・最小値

関数がとる値のうち、いちばん大きい値・いちばん小さい値です。

定義域

x がとりうる値の範囲です。「個数は 0 以上」「価格は○円まで」などの条件から決まります。

上に凸

山の形のグラフです（$x^{2}$ の係数が負）。頂点で最大になります。

「価格を上げると1個あたりの売上は増えるが、売れる数は減る」という場面では、売上 = 価格 × 販売数 が x の二次式になります。2つの一次式のかけ算なので、展開すると $x^{2}$ の項が出てくるからです。

この二次関数の $x^{2}$ の係数が負なら、グラフは山の形（上に凸）です。山の頂上である頂点で売上が最大になります。頂点は平方完成で求めます。

x のとりうる範囲（定義域）が決まっているときは、頂点がその範囲に入っているかを確かめます。上に凸のグラフなら、頂点が範囲の中にあればそこで最大、範囲の外にあれば頂点に近いほうの端で最大です。最小値は、範囲の両端の値を比べて決めます。

答えを出したら、そのときの価格や販売数が現実的な値か（販売数が負になっていないか）も確かめましょう。

ポイント

$y = a(x - p)^{2} + q$ で $a < 0$ なら、$x = p$ のとき最大値 q

$a > 0$ なら、$x = p$ のとき最小値 q

定義域があるときは、頂点が範囲に入るかを確かめ、両端の値と比べる

売上 = 価格 × 販売数

解き方の手順

1. 値上げの回数など、変える量を x とおき、価格と販売数をそれぞれ x の式で表します。
2. 売上 y = 価格 × 販売数 を展開して、$y = ax^{2} + bx + c$ の形にします。
3. 平方完成して $y = a(x - p)^{2} + q$ とし、頂点 $(p, q)$ を求めます。
4. a が負で、p が x のとりうる範囲に入っていれば、最大値は q です。そのときの価格・販売数も確かめます。