判別式と二次不等式の練習問題

考え方

$-x^{2} + x + 6 < 0$ のような二次不等式を、グラフを使って解けるようになります。利益が出る価格の範囲や、条件を満たす数量の範囲を求めるときに使います。

二次不等式

$x^{2}$ を含む不等式です。答えは x の範囲になります。

判別式 D

$ax^{2} + bx + c = 0$ の $D = b^{2} - 4ac$ です。D の符号で、グラフと x 軸の交点の数が分かります。

二次不等式 $x^{2} - 2x - 3 < 0$ は、「$y = x^{2} - 2x - 3$ のグラフが x 軸より下にあるのは、x がどの範囲のときか」という問題として考えます。グラフで見ると、答えがはっきりします。

$x^{2} - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ なので、グラフは $x = -1$ と $x = 3$ で x 軸と交わる、谷の形（下に凸）の放物線です。x 軸より下にあるのは2つの交点の間、上にあるのは交点の外側です。よって $< 0$ の解は $-1 < x < 3$、$> 0$ の解は $x < -1, 3 < x$ です。

$x^{2}$ の係数が負のときは、まず両辺に $-1$ をかけて正にします。一次不等式と同じく、負の数をかけたので不等号の向きが逆になります。これを忘れると、「間」と「外側」が入れかわった答えになってしまいます。

グラフと x 軸の交点の数は、判別式 $D = b^{2} - 4ac$ で分かります。$D > 0$ なら2点で交わり、$D = 0$ なら1点で接し、$D < 0$ なら交わりません。$D < 0$ で下に凸なら、グラフはいつも x 軸より上にあります。

ポイント

$\alpha < \beta$ のとき、$(x - \alpha)(x - \beta) < 0$ の解は $\alpha < x < \beta$（間）

$\alpha < \beta$ のとき、$(x - \alpha)(x - \beta) > 0$ の解は $x < \alpha, \beta < x$（外側）

$\le$・$\ge$ のときは、交点の値も含める

判別式 $D = b^{2} - 4ac$: $D > 0$ で交点2つ、$D = 0$ で1つ（接する）、$D < 0$ で交点なし

解き方の手順

1. $x^{2}$ の係数が負なら、両辺に $-1$ をかけて正にし、不等号の向きを逆にします。
2. 左辺 = 0 の方程式を、因数分解（または解の公式）で解きます。
3. 下に凸のグラフをかき、x 軸との交点に解を書き込みます。
4. $< 0$ なら交点の間、$> 0$ なら外側を答えます。$\le$・$\ge$ なら交点も含め、「$x \le -1, 3 \le x$」のように書きます。