一次不等式の練習問題

考え方

「〜以上」「〜より安い」といった条件を満たす範囲を、一次不等式で求められるようになります。料金プランの比較、予算内で買える数量、損益分岐の判断などで使います。

不等式

$<$、$>$、$\le$（以下）、$\ge$（以上）を使って、大小の関係を表した式です。

不等式の解

不等式を満たす x の値の範囲です。「$x \ge 6$」のように範囲で答えます。

移項

項の符号を変えて、等号・不等号の反対側へ移すことです。

一次不等式は、一次方程式とほとんど同じ手順で解けます。両辺に同じ数を足しても引いても大小は変わらないので、移項は方程式と同じようにできます。正の数をかけたり、わったりしても大小は変わりません。

ただ1つ違うのは、両辺に負の数をかけたり、わったりするときです。$2 < 3$ の両辺に $-1$ をかけると、$-2$ と $-3$ では $-2 > -3$ と大小が入れかわります。そのため、負の数をかけたりわったりしたら、不等号の向きを逆にします。

文章題では、比べたい2つの量を x の式で表し、不等号でつなぎます。「A のほうが安い」なら「A の料金 $<$ B の料金」、「A が B 以下」なら「A の料金 $\le$ B の料金」です。

答えは数直線にかくと確かめやすくなります。「以上・以下」はその数を含むので黒丸（●）、「より大きい・未満」は含まないので白丸（○）で表します。

ポイント

$a < b$ なら $a + c < b + c$、$a - c < b - c$（移項できる）

$a < b$ で $c > 0$ なら $ac < bc$、$\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$（向きはそのまま）

$a < b$ で $c < 0$ なら $ac > bc$、$\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$（向きが逆になる）

解き方の手順

1. 比べる2つの量を x の式で表し、条件に合う不等号（$<$ か $\le$）でつなぎます。
2. x の項を左辺、数の項を右辺に移項してまとめ、$kx \le m$ のような形にします。
3. 両辺を x の係数 k でわります。k が負の数なら、不等号の向きを逆にします。
4. 「$x \ge 6$」のように x の範囲で答え、具体的な数を代入して確かめます。