実数と絶対値の練習問題

考え方

√（ルート）を含む長さを、できるだけ簡単な形で正確に計算できるようになります。正方形の土地の1辺や画面の対角線など、割り切れない長さを扱う場面で使います。

有理数

整数の比（分数）で表せる数です。$-3$ や $0.25 = \frac{1}{4}$ のように、小数が終わるか、同じ並びをくり返します。

無理数

分数で表せない数です。$\sqrt{2} = 1.41421\cdots$ や円周率 π のように、小数がくり返さずに限りなく続きます。

実数

有理数と無理数を合わせた数全体です。数直線上の点で表せます。

絶対値 $|a|$

数直線で、0 からその数までの距離です。$|-3| = 3$、$|3| = 3$ のように、いつも 0 以上になります。

面積 2 m² の正方形の1辺は、2乗すると 2 になる数で、$\sqrt{2}$ m と書きます。$\sqrt{2} = 1.41421\cdots$ は分数では表せない無理数で、分数で表せる有理数と合わせて実数といいます。

√ の中に $4 = 2^{2}$ や $9 = 3^{2}$ のような平方数のかけ算が入っているときは、その部分を √ の外に出せます。たとえば $\sqrt{12} = \sqrt{2^{2} \times 3} = 2\sqrt{3}$ です。答えは、√ の中ができるだけ小さい整数になる形（$k\sqrt{m}$）で書きます。

√ を含む式の足し算・引き算は、文字式の同類項と同じです。√ の中が同じなら $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$ とまとめられますが、$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ はこれ以上まとめられません。$\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ ですが $\sqrt{25} = 5$ なので、$\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a + b}$ ではありません。

分母に √ があるときは、分母と分子に同じ √ をかけて分母を整数にします（有理化）。$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

ポイント

$\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}$（$a > 0$。例: $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$）

$m\sqrt{a} + n\sqrt{a} = (m + n)\sqrt{a}$（√ の中が同じものだけまとめられる）

$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$、$\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$（有理化）

$a \ge 0$ なら $|a| = a$、$a < 0$ なら $|a| = -a$

解き方の手順

1. 正方形の1辺は面積の正の平方根です。面積 S なら1辺は $\sqrt{S}$ と書きます。
2. √ の中を「平方数 × 残り」に分け（$27 = 9 \times 3$ など）、平方数を √ の外に出して $k\sqrt{m}$ の形にします。
3. √ の中が同じ数になったら、前の係数どうしを足してまとめます。
4. √ の中に平方数のかけ算が残っていないか確かめて答えます。