指数の拡張と指数関数の練習問題

考え方

$2^{-3}$ や $8^{\frac{2}{3}}$ のような 0・負・分数の指数を扱い、指数法則で累乗の計算をまとめられるようになります。データ量（2 の累乗）、とても大きい数・小さい数（10 の累乗）、複利の計算などで使います。

底・指数

$a^{n}$ の a を底、右上の n を指数といいます。

累乗根 $\sqrt[n]{a}$

n 乗すると a になる正の数です。$\sqrt[3]{8} = 2$ です。

指数関数

$y = a^{x}$（$a > 0$、$a \ne 1$）の形の関数です。x が 1 増えるごとに y が a 倍になります。

$2^{3} \times 2^{2} = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2) = 2^{5}$ のように、同じ底の累乗のかけ算は指数の足し算です。$(2^{3})^{2} = 2^{3} \times 2^{3} = 2^{6}$ のように、累乗の累乗は指数のかけ算です。「かけ算なら足す、累乗なら掛ける」と区別しましょう。

指数が 0 や負の数のときは、「指数が 1 減るごとに底でわる」という規則をそのまま延長して決めます。$2^{3} = 8$、$2^{2} = 4$、$2^{1} = 2$ と続けると、$2^{0} = 1$、$2^{-1} = \frac{1}{2}$、$2^{-2} = \frac{1}{4}$ です。こう決めると、指数法則が負の指数でもそのまま使えます。

分数の指数は累乗根を表し、$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$、$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ です。$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^{2} = 2^{2} = 4$ のように計算します。

$y = 2^{x}$ のような指数関数は、x が 1 増えるごとに y が一定の倍率で増えます。年利 5% の複利で n 年運用した金額が「元金 × $1.05^{n}$」になるのも、指数関数の例です。

ポイント

$a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$、$a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$、$(ab)^{n} = a^{n}b^{n}$

$a^{0} = 1$、$a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$（$a > 0$）

解き方の手順

1. 累乗の累乗 $(a^{m})^{n}$ は、指数どうしをかけて $a^{mn}$ にします。
2. 同じ底の積 $a^{m} \times a^{n}$ は、指数どうしを足して $a^{m+n}$ にします。
3. 指数が負なら $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$、0 なら 1 として値を出します。
4. 答えは整数か分数（例: 1/8）で書きます。