等差数列・等比数列の練習問題

考え方

「毎回同じ数ずつ増える」「毎回同じ倍率で増える」数の並びを式で表し、n 番目の値や合計を一気に求められるようになります。積立や複利、口コミで広がる人数の見積もりなどに使います。

数列・項

数を順に並べたものが数列、並んだ1つ1つの数が項です。1番目を初項、n 番目を第 n 項といい、$a_n$ と書きます。

等差数列・公差 d

前の項に同じ数 d を足していく数列です。例: 3, 5, 7, 9, …（公差 2）

等比数列・公比 r

前の項に同じ数 r をかけていく数列です。例: 3, 6, 12, 24, …（公比 2）

項数 n

足し合わせる項の個数です。1日目から n 日目までなら n 個です。

数列を見たら、まず「となりの項との関係」を確かめます。差がいつも同じなら等差数列、比（何倍か）がいつも同じなら等比数列です。

等差数列では、初項 a から第 n 項までに公差 d を $n - 1$ 回足すので、一般項は $a_n = a + (n - 1)d$ です。和は「（初項 + 末項）× 項数 ÷ 2」で求められます。同じ数列を逆順に並べて足すと、どの組も同じ和になるからです。

等比数列では、初項 a に公比 r を $n - 1$ 回かけるので、一般項は $a_n = ar^{n-1}$ です。2倍、2倍と増える量は、はじめは小さくても、すぐに大きくなります（下の図）。

等比数列の和 S は、S と rS を並べて引き算すると途中の項がすべて消え、$rS - S = ar^{n} - a$ となります。ここから $S = \frac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$ です。和の公式の指数は項数 n、一般項の指数は $n - 1$ という違いに気をつけましょう。

ポイント

等差数列: $a_n = a + (n - 1)d$、和 $S_n = \dfrac{n\{2a + (n - 1)d\}}{2}$

等比数列: $a_n = ar^{n-1}$

等比数列の和（$r \ne 1$）: $S_n = \dfrac{a(r^{n} - 1)}{r - 1}$

解き方の手順

1. 最初の数項を書き出し、「足していく」のか「かけていく」のかを見分けます。
2. 初項 a、公差 d（または公比 r）、項数 n を読み取ります。1日目から n 日目までの合計なら、項数は n です。
3. 第 n 項を聞かれたら一般項、合計を聞かれたら和の公式に代入します。
4. 累乗 $r^{n}$ を先に計算してから、かけ算・わり算をします。