Σ と数列の和の練習問題

考え方

「1 から n まで、少しずつ変わる量を全部足す」計算を Σ（シグマ）記号で短く書き、公式で一気に求められるようになります。表計算の SUM 関数や、累計・積み上げの計算と同じ考え方です。

$\sum$（シグマ）

「足し合わせる」を表す記号です。$\sum_{k=1}^{n} a_k$ は、k に 1, 2, …, n を順に入れた $a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ を表します。

k（番号の文字）

何番目かを表す文字です。Σ の下の数から始めて、上の数まで1ずつ増やします。

$\sum_{k=1}^{5} (2k + 1)$ は、k に 1, 2, 3, 4, 5 を順に入れた 3, 5, 7, 9, 11 を全部足す、という意味です（答えは 35）。Σ の下の「k = 1」が始まり、上の 5 が終わりです。

Σ の中が足し算・引き算なら、項ごとに分けて計算できます。また、k をふくまない係数は Σ の外に出せます。$\sum (ak + b) = a\sum k + \sum b$ と分ければ、あとは公式を使うだけです。

$\sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2 + \cdots + n$ は、同じ和を逆の順番に並べて足すと、どの組も $n + 1$ になります。それが n 組あるので、2でわって $\frac{n(n+1)}{2}$ です（下の図）。

定数 b の和 $\sum_{k=1}^{n} b$ は、b を n 回足すので $bn$ です（b のままではありません）。2乗の和 $\sum k^{2}$ には専用の公式があり、$\left(\sum k\right)^{2}$ とは違う値になります。

ポイント

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c = cn$（c は定数。c を n 回足す）

$\displaystyle\sum (ak^{2} + bk + c) = a\sum k^{2} + b\sum k + \sum c$（項ごとに分け、係数は外へ）

解き方の手順

1. Σ の中の式を項ごとに分け、係数を Σ の外に出します。
2. $\sum k$・$\sum k^{2}$ の公式に、Σ の上の数を n として代入します。
3. 定数だけの項は「定数 × n」にします。
4. 係数をかけて、全部を足し合わせます。