数列の極限と無限級数の練習問題

考え方

限りなく続く数列が近づく値（極限）を調べ、無限に足し続けた合計（無限等比級数の和）を求められるようになります。広告効果の累計、薬が体内に残る量、ずっと続く支払いの合計の見積もりなどに使います。

収束・発散

数列がある値に限りなく近づくことを収束、そうならないことを発散といいます。

極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$

n を限りなく大きくしたときに、$a_n$ が近づく値です。

無限級数

数列の項を限りなく足し続けたもの $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ です。

部分和 $S_n$

初項から第 n 項までの和です。無限級数の和は、$S_n$ が近づく値として決めます。

数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots$ は、n を大きくするほど 0 に限りなく近づきます。これを $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ と書き、「0 に収束する」といいます。$2^{n}$ のように限りなく大きくなるものや、$(-1)^{n}$ のように行ったり来たりするものは発散します。

等比数列 $r^{n}$ は、$|r| < 1$ なら 0 に収束します。$\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ は、半分、また半分と小さくなっていきます。一方、$r > 1$ なら限りなく大きくなり、$r \le -1$ なら振動して収束しません。

初項 a、公比 r の等比数列の部分和は $S_n = \frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$ です。$|r| < 1$ なら $r^{n} \to 0$ なので、$S_n$ は $\frac{a}{1 - r}$ に近づきます。これが無限等比級数の和です。

無限に足しても有限の値になるのは、足す量がどんどん小さくなるからです。$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots$ は、長さ 2 のテープの残りを半分ずつ埋めていくようなもので、合計は 2 に近づきます（下の図）。$|r| \ge 1$ では（初項が 0 でなければ）収束しないので、公式を使う前に必ず公比を確かめます。

ポイント

$|r| < 1$ のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^{n} = 0$

無限等比級数 $a + ar + ar^{2} + \cdots$（$a \ne 0$）は、$|r| < 1$ のとき収束して、和は $\dfrac{a}{1 - r}$

$|r| \ge 1$ のときは発散する

解き方の手順

1. 問題の量を、初項 a・公比 r の等比数列の和として読み取ります（「前の何倍か」が公比です）。
2. $|r| < 1$ であることを確かめます（収束するかどうか）。
3. 先に $1 - r$ を計算します（分数なら通分します）。
4. $a \div (1 - r)$ を計算し、分数は約分して答えます。