テイラー展開の練習問題

考え方

$e^x$ や $\log(1 + x)$、$\cos x$ のような関数を、ある点の近くで多項式で近似できるようになります。電卓やプログラムが関数の値を計算するしくみや、工学の「小さいときの近似」の土台です。

マクローリン展開

$x = 0$ のまわりでのテイラー展開。$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$

$n!$（階乗）

1 から $n$ までの積。$3! = 6$。$0! = 1$ と決めます。

関数のグラフを、ある点の近くだけでまねする多項式を作ります。まず値をそろえ（定数項）、次に傾きをそろえ（1次の項）、さらに曲がり方をそろえ（2次の項）…と、項を足すほど近似がよくなります。

$x^n$ の係数を $c_n$ とすると、多項式を $n$ 回微分して $x = 0$ を代入した値は $n!\,c_n$ です。だから元の関数と $n$ 回微分した値をそろえるには、$c_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}$ とすればよいのです。

$f(x) = e^{2x}$ なら、微分するたびに 2 がかかり、$f^{(n)}(0) = 2^n$ です。よって $e^{2x} \approx 1 + 2x + 2x^2 + \dfrac{4}{3}x^3$ となります。内側の係数をかけ忘れると、$e^x$ の展開になってしまいます。

近似がよいのは中心（ここでは $x = 0$）の近くだけです。離れるほど誤差が大きくなり、どこまで使えるかは「級数とべき級数」の単元で収束半径として調べます。

ポイント

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \dfrac{f'''(0)}{3!}x^3$

テイラー展開（$x = a$ のまわり）: $f(x) \approx \displaystyle\sum_{n=0}^{N}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$、$\cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$、$\log(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$

解き方の手順

1. $f'(x)$、$f''(x)$、$f'''(x)$ を順に求める（内側の係数が、微分するたびにかかる）。
2. $x = 0$ を代入して $f(0)$、$f'(0)$、$f''(0)$、$f'''(0)$ を求める。
3. それぞれを $0!, 1!, 2!, 3!$（$= 1, 1, 2, 6$）で割って、$1, x, x^2, x^3$ の係数にする。
4. 係数が 0 の項を省き、分数は約分して多項式にまとめる。