平均値の定理とロピタルの定理の練習問題

考え方

区間全体の平均の変化率と、ある瞬間の変化率の関係（平均値の定理）が分かり、代入すると $\dfrac{0}{0}$ になる極限をロピタルの定理で求められるようになります。速度の取り締まりや、センサーの値の変化率の計算に出てくる考え方です。

平均変化率

区間 $[a, b]$ での $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$。両端を結ぶ直線（割線）の傾き。

不定形

そのまま代入すると $\dfrac{0}{0}$ や $\dfrac{\infty}{\infty}$ になり、値が決まらない形。

高速道路を 2 時間で 200 km 進んだら、平均の速さは時速 100 km です。途中で速さを変えていても、どこかの瞬間には必ずちょうど時速 100 km で走っています。これが平均値の定理の中身です。

式で書くと、$f(x)$ が $[a, b]$ で連続、$(a, b)$ で微分できるとき、$\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ となる $c$（$a < c < b$）があります。グラフでは、両端を結ぶ直線と平行な接線が、間のどこかで引けるということです。

ロピタルの定理は、$\dfrac{0}{0}$ の形の極限を、分子と分母をそれぞれ微分して求める方法です。どちらも 0 に近づくとき、その近づく速さ（微分係数）の比べ合いで極限が決まる、というイメージです。

商の微分公式を使うのではなく、分子と分母を別々に微分します。合成関数の微分で出る係数（$(e^{3x})' = 3e^{3x}$ の 3）を忘れやすいので注意します。1回微分してもまだ $\dfrac{0}{0}$ なら、もう一度微分します。

ポイント

平均値の定理: $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$ となる $c$（$a < c < b$）がある

ロピタルの定理: $\dfrac{0}{0}$ の形なら $\displaystyle\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$（右辺の極限があるとき）

よく使う微分: $(e^{kx})' = ke^{kx}$、$(\log(1 + kx))' = \dfrac{k}{1 + kx}$、$(\cos kx)' = -k\sin kx$

解き方の手順

1. $x$ の値を代入して、分子も分母も 0 になる（$\dfrac{0}{0}$ の不定形）ことを確かめる。
2. 分子と分母をそれぞれ微分する（合成関数の微分の係数を忘れずに）。
3. 微分した分数に代入する。まだ $\dfrac{0}{0}$ なら、もう一度分子と分母を微分する。
4. 答えは既約分数にする。