級数とべき級数の練習問題

考え方

無限に続く足し算（級数）が一定の値に落ち着くかを判定し、等比級数の和や、べき級数が使える範囲（収束半径）を求められるようになります。毎週減っていく効果の合計や、関数の近似が使える範囲の見極めに使います。

級数

数列の項を限りなく足した $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$。部分和 $S_N = a_1 + \cdots + a_N$ が近づく値が級数の和。

べき級数

$\displaystyle\sum c_n(x - a)^n$ の形の、無限に続く多項式。$a$ を中心という。

収束半径 $R$

べき級数が $|x - a| < R$ で収束し、$|x - a| > R$ で発散する境目の距離。

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ は、足すたびに残りの半分を埋めていくので、和は 1 に近づきます。このように部分和がある値に近づくとき、級数は収束するといいます。

等比級数は、公比 $r$ が $|r| < 1$ のときだけ収束し、和は $\dfrac{\text{初項}}{1 - r}$ です。たとえば $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} 6\left(\frac{1}{3}\right)^n$ は初項 2（$n = 1$ の項）、公比 $\dfrac{1}{3}$ なので、和は $\dfrac{2}{1 - 1/3} = 3$ です。

項が 0 に近づくことは、収束の必要条件にすぎません。調和級数 $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots$ は、項が 0 に近づくのに和は限りなく大きくなります。$\displaystyle\sum\frac{1}{n^p}$ は $p > 1$ のとき収束します。

べき級数は、隣どうしの係数の比を見ます。$\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right| \to L$ なら、項はおよそ公比 $L|x - a|$ の等比級数のようにふるまうので、$|x - a| < \dfrac{1}{L}$ で収束します。収束半径は比の極限 $L$ ではなく、その逆数です。

ポイント

等比級数: $|r| < 1$ のとき、和 $= \dfrac{\text{初項}}{1 - r}$（$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \frac{a}{1 - r}$）

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ は $p > 1$ で収束、$p \le 1$ で発散

収束半径: $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = L$ なら $R = \dfrac{1}{L}$（ダランベールの判定法）

解き方の手順

1. 等比級数なら、公比 $r$ を読み取り、$|r| < 1$ かを確かめる。
2. 初項（$n = 1$ から始まるなら $n = 1$ を代入した項）を求め、$\dfrac{\text{初項}}{1 - r}$ を計算する。
3. べき級数なら、係数 $c_n$ を取り出し、$\left|\dfrac{c_{n+1}}{c_n}\right|$ を約分して $n \to \infty$ の極限 $L$ を求める。
4. 収束半径は $R = \dfrac{1}{L}$。中心（$x - a$ の $a$）は半径に関係しない。端の点は $p$ 級数などで別に調べる。