漸化式と数学的帰納法の練習問題

考え方

「前の月の値から次の月の値が決まる」というルール（漸化式）から、n か月目の値をすぐに計算できる式（一般項）を作れるようになります。在庫・会員数・ローン残高など、同じ操作をくり返す変化の予測に使います。

漸化式

前の項から次の項を決める式です。例: $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 20$

一般項

n を入れるだけで $a_n$ が求まる、n の式です。

特性方程式 $\alpha = p\alpha + q$

漸化式の $a_{n+1}$ と $a_n$ を同じ α にした式です。解 α は、ルールを当てはめても変わらない値（落ち着く先）です。

数学的帰納法

「n = 1 で正しい」と「n = k で正しければ n = k + 1 でも正しい」を示して、すべての n で正しいと結論する証明の方法です。

在庫が毎月半分出荷され、そのあと 20 個補充されるとします。n か月目の在庫を $a_n$ とすると $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 20$ です。このように前の値から次の値を決める式を漸化式といいます。

$a_1$ がわかれば $a_2, a_3, \ldots$ と順に計算できますが、100か月目を知るのに100回計算するのは大変です。そこで n の式（一般項）を求めます。$a_{n+1} = a_n + d$ なら等差数列、$a_{n+1} = ra_n$ なら等比数列なので、すぐに書けます。

$a_{n+1} = pa_n + q$ の形では、ルールを当てはめても変わらない値 α を探します。$\alpha = p\alpha + q$ をもとの式から辺ごとに引くと、q が消えて $a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$ になります。つまり「α からのずれ」$b_n = a_n - \alpha$ は、公比 p の等比数列です。

$b_n = (a_1 - \alpha)p^{n-1}$ なので、α を足して戻すと $a_n = (a_1 - \alpha)p^{n-1} + \alpha$ です。在庫の例では α = 40 で、ずれが毎月半分になり、在庫は 40 個に近づいていきます（下の図）。

数学的帰納法は、こうして求めた式がすべての n で正しいことを示す方法です。「n = 1 で成り立つ」「n = k で成り立てば n = k + 1 でも成り立つ」の2つを示せば、ドミノ倒しのようにすべての n で成り立ちます。

ポイント

$a_{n+1} = pa_n + q$ は、$\alpha = p\alpha + q$ を満たす α を使って $a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$ と変形できる

一般項: $a_n = (a_1 - \alpha)p^{n-1} + \alpha$

数学的帰納法: (1) n = 1 で成り立つ (2) n = k で成り立つと仮定すると n = k + 1 でも成り立つ → すべての自然数 n で成り立つ

解き方の手順

1. 漸化式を $a_{n+1} = pa_n + q$ の形で読み、p と q を確かめます。
2. $\alpha = p\alpha + q$ を解いて α を求めます（移項するときは符号を変えます）。
3. $b_n = a_n - \alpha$ は公比 p の等比数列です。初項 $b_1 = a_1 - \alpha$ を計算します。
4. $b_n = b_1 p^{n-1}$ に α を足して、$a_n = b_1 p^{n-1} + \alpha$ とします。
5. n = 1, 2 を代入して、$a_1$・$a_2$ と一致するか確かめます。