対数と対数関数の練習問題

考え方

「2 を何乗すると 8 になるか」を表す対数を使い、大きな数の計算や「何年で2倍になるか」を求められるようになります。音の大きさ（dB）、地震のマグニチュード、pH なども対数で表されています。

対数 $\log_{a} M$

a を何乗すると M になるかを表す数です。$2^{3} = 8$ なので $\log_{2} 8 = 3$ です。

底・真数

$\log_{a} M$ の a を底、M を真数といいます（$a > 0$、$a \ne 1$、$M > 0$）。

常用対数

底が 10 の対数 $\log_{10} M$ です。$\log_{10} 1000 = 3$ のように、桁数と結びついています。

$2^{3} = 8$ を「8 は 2 の何乗か」の向きで書いたのが $\log_{2} 8 = 3$ です。対数は指数の言いかえなので、指数法則をそのまま対数の性質に読みかえられます。

かけ算は指数の足し算だったので、$\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N$ です。同じように、わり算は引き算、k 乗は k 倍になります。かけ算や累乗を、足し算やかけ算という簡単な計算に直せるのが対数の便利なところです。

ただし、和の対数 $\log_{a}(M + N)$ は分けられません。$\log_{10} 12$ を求めるときは、$12 = 10 + 2$ と分けるのではなく、$12 = 2^{2} \times 3$ とかけ算の形にして $2\log_{10} 2 + \log_{10} 3$ とします。

「年利 12% の複利で何年後に2倍以上になるか」は $1.12^{n} \ge 2$ を解く問題です。両辺の常用対数をとると $n\log_{10} 1.12 \ge \log_{10} 2$ となり、$\log_{10} 1.12 = 0.0492$、$\log_{10} 2 = 0.3010$ を使うと $n \ge 6.11\cdots$ なので、7年後です。

ポイント

$a^{p} = M \iff p = \log_{a} M$

$\log_{a} MN = \log_{a} M + \log_{a} N$、$\log_{a} \dfrac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N$

$\log_{a} M^{k} = k\log_{a} M$、$\log_{a} a = 1$、$\log_{a} 1 = 0$

底の変換: $\log_{a} b = \dfrac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$

解き方の手順

1. 真数を、2・3・10 のかけ算・わり算で表します（$72 = 2^{3} \times 3^{2}$、$5 = \frac{10}{2}$ など）。
2. 積は和、商は差、累乗は係数に直して、$\log_{10} 2$、$\log_{10} 3$、$\log_{10} 10 = 1$ に分けます。
3. $\log_{10} 2 = a$、$\log_{10} 3 = b$ を代入して整理します。
4. 「何年で2倍」の問題は、両辺の常用対数をとって n を前に出し、わり算の結果以上の最小の整数を答えます。