集合と命題の練習問題

考え方

アンケートの集計で「どちらにも当てはまらない人」を正しく数えたり、「〜ならば〜」という条件の関係（必要条件・十分条件）を判断したりできるようになります。仕様書や社内規程の条件を読み解くときにも役立ちます。

集合・要素

はっきり決まるものの集まりが集合、その1つ1つが要素です。$n(A)$ は集合 A の要素の個数を表します。

$A \cap B$・$A \cup B$

$A \cap B$（共通部分）は「A かつ B」、$A \cup B$（和集合）は「A または B（少なくとも一方）」に当てはまるものの集まりです。

補集合 $\overline{A}$

全体 U のうち、A に入らないものの集まりです。

命題・反例

真（正しい）か偽（正しくない）かがはっきり決まる文が命題です。「p ならば q」が偽であることを示す例を反例といいます。

「A または B」に当てはまる人数を、A の人数と B の人数の足し算で出すと、両方に当てはまる人を2回数えてしまいます。ベン図でいうと、2つの円が重なった部分です。そこで、重なりの人数を1回分引きます。

「A と B のどちらにも当てはまらない人」は、全体から「A または B に当てはまる人」を引けば求められます。反対側（補集合）から数えると簡単になる場面は、確率でもよく出てきます。

「p ならば q」（$p \Rightarrow q$）が真とは、p を満たすものが必ず q も満たすことです。満たす範囲で考えると、p の範囲が q の範囲にすっぽり入っている状態です。偽であることは、p を満たすのに q を満たさない例（反例）を1つ挙げれば示せます。

$p \Rightarrow q$ が真のとき、p は q であるための十分条件、q は p であるための必要条件といいます。「p が成り立てば q には十分」「p のためには q が必要」と読むと覚えやすくなります。両方向とも真なら必要十分条件です。

$p \Rightarrow q$ に対して、$q \Rightarrow p$ を逆、$\overline{p} \Rightarrow \overline{q}$ を裏、$\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ を対偶といいます。もとの命題と真偽が必ず一致するのは対偶だけです。

ポイント

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

どちらでもないもの: $n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$p \Rightarrow q$ が真のとき、p は q であるための十分条件、q は p であるための必要条件

命題 $p \Rightarrow q$ とその対偶 $\overline{q} \Rightarrow \overline{p}$ は、真偽が一致する

解き方の手順

1. 人数の問題は、ベン図をかいて全体・A・B・重なりの人数を書き込みます。
2. $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ を計算し、全体から引いて「どちらでもない」を求めます。
3. 条件の問題は、$p \Rightarrow q$ と $q \Rightarrow p$ の真偽をそれぞれ調べます。偽なら反例を1つ探します。範囲の条件は数直線で比べます。
4. $p \Rightarrow q$ だけ真なら十分条件、$q \Rightarrow p$ だけ真なら必要条件、両方真なら必要十分条件、両方偽ならどちらでもない、と判断します。