複素数と二次方程式の練習問題

考え方

2乗すると $-1$ になる数 i を使った複素数の計算ができるようになり、どんな二次方程式にも解があることが分かります。交流の電気回路や、音・画像の信号処理の計算の土台です。

虚数単位 i

$i^{2} = -1$ となる数です。

複素数

$a + bi$（a, b は実数）の形の数です。a を実部、b を虚部といいます。

判別式 D

$ax^{2} + bx + c = 0$ の $D = b^{2} - 4ac$ です。解が実数か虚数かを判定します。

実数は2乗すると必ず 0 以上になるので、$x^{2} = -1$ を満たす実数はありません。そこで、2乗すると $-1$ になる新しい数を i と決めます。$\sqrt{-4} = 2i$ のように、負の数の平方根も i を使って表せます。

複素数 $a + bi$ の計算は、i を文字のように扱う文字式の計算と同じです。ただし、$i^{2}$ が出てきたら $-1$ におき換えます。$(1 + 2i)(3 - i) = 3 - i + 6i - 2i^{2} = 3 + 5i + 2 = 5 + 5i$ です。

$i^{2} = 1$ と計算してしまうと、実部の符号が逆になります。「$i^{2}$ の項は符号を変えて、実数の部分へ移る」と覚えておきましょう。答えは実部と虚部をそれぞれまとめて $p + qi$ の形で書きます。

複素数まで考えると、どんな二次方程式にも解があります。解の公式の √ の中（判別式 D）が負なら、解は2つの虚数になります。また、2つの解 α, β の和と積は、係数から $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$、$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ で分かります（解と係数の関係）。

ポイント

$i^{2} = -1$、$\sqrt{-k} = \sqrt{k}\,i$（$k > 0$）

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

解の公式 $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$。$D < 0$ なら異なる2つの虚数解

解と係数の関係: $\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$、$\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$

解き方の手順

1. 分配法則で、4つの積をすべて書き出します。
2. $i^{2}$ の項は、$i^{2} = -1$ を使って符号を変え、実数にします。
3. i を含まない項（実部）と、i の項（虚部）をそれぞれまとめます。
4. $p + qi$ の形（例: 14-5i）で答えます。