2階線形微分方程式（定数係数）の練習問題

考え方

ばねの振動や電気回路のように、加速度（2階導関数）を含む $y'' + py' + qy = 0$ の形の方程式を、特性方程式から解けるようになります。揺れながら止まるのか、揺れずに戻るのかを、係数から判断できます。

特性方程式

$y = e^{\lambda t}$ を代入して得られる $\lambda$ の2次方程式 $\lambda^2 + p\lambda + q = 0$。

一般解

2つの任意定数 $C_1$, $C_2$ を含む解。初期条件 $y(0)$, $y'(0)$ で定数が決まる。

減衰振動・過減衰

揺れながら小さくなる動きと、揺れずにゆっくり戻る動き。

指数関数 $e^{\lambda t}$ は、微分しても $\lambda$ 倍されるだけで形が変わりません。そこで $y = e^{\lambda t}$ とおいて $y'' + py' + qy = 0$ に代入すると、$e^{\lambda t}(\lambda^2 + p\lambda + q) = 0$ となり、特性方程式を解く問題になります。

解が異なる2つの実数 $\lambda_1$, $\lambda_2$ なら、一般解は $y = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t}$ です。どちらも負なら、揺れずに 0 に戻ります（過減衰）。重解 $\lambda$ なら $y = (C_1 + C_2t)e^{\lambda t}$ です。

判別式が負で、解が $\alpha \pm \beta i$（複素数）のときは、$y = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)$ になります。実部 $\alpha$ が減衰の速さ、虚部 $\beta$ が揺れの速さ（角振動数）を表し、$\alpha < 0$ なら揺れながら小さくなります。

最後に初期条件で定数を決めます。異なる実数解なら、$y(0) = C_1 + C_2$、$y'(0) = \lambda_1C_1 + \lambda_2C_2$ の連立方程式を解きます。

ポイント

特性方程式: $y'' + py' + qy = 0 \Rightarrow \lambda^2 + p\lambda + q = 0$

異なる実数解 $\lambda_1, \lambda_2$: $y = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t}$　重解 $\lambda$: $y = (C_1 + C_2t)e^{\lambda t}$

複素数解 $\alpha \pm \beta i$: $y = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)$

解き方の手順

1. $y''$ を $\lambda^2$、$y'$ を $\lambda$、$y$ を 1 に置きかえて、特性方程式を作る。
2. 因数分解か解の公式で $\lambda$ を求める（判別式が負なら $\sqrt{-m^2} = mi$）。
3. 解の種類（異なる実数・重解・複素数）に合った一般解の形を書く。
4. 初期条件があれば $y(0)$ と $y'(0)$ の式を作り、$C_1$, $C_2$ を求める。