1階常微分方程式の練習問題

考え方

「変化の速さが今の量に比例する」のような関係（微分方程式）から、量を時間の式で表せるようになります。在庫の減り方、放射性物質の減衰、人口や預金の成長、薬の血中濃度のモデルです。

微分方程式

未知の関数 $y(t)$ と、その導関数 $\dfrac{dy}{dt}$ の関係を表す式。

一般解・特殊解

任意の定数を含むすべての解（一般解）と、初期条件 $y(0) = y_0$ などで定数を決めた解（特殊解）。

変数分離形

$\dfrac{dy}{dt} = f(t)g(y)$ のように、$y$ の部分と $t$ の部分に分けられる形。

在庫が「残っている量に比例する速さで」売れていくなら、$\dfrac{dy}{dt} = -ky$（$k > 0$）と書けます。量が多いうちは速く減り、少なくなるとゆっくり減ります。このような「変化の速さ」の式から $y$ を求めるのが、微分方程式を解くことです。

変数分離形は、$y$ を含む部分を左辺、$t$ を含む部分を右辺に集めてから、両辺を積分します。$\dfrac{1}{y}\,dy = -k\,dt$ を積分すると、$\log|y| = -kt + C$ です。

指数に戻すと $|y| = e^{-kt + C} = e^C e^{-kt}$ なので、$y = Ae^{-kt}$（$A$ は定数）が一般解です。$e^{-kt + C}$ を $e^{-kt} + C$ としないよう注意します。最後に $t = 0$ を代入すると $y(0) = A$ なので、$A$ は最初の量です。

1階線形微分方程式 $\dfrac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ は、両辺に $e^{\int P(t)\,dt}$（積分因子）をかけると左辺が1つの積の微分になり、積分して解けます。

ポイント

$\dfrac{dy}{dt} = ky$ の一般解: $y = Ae^{kt}$（$A = y(0)$）

変数分離: $\dfrac{dy}{dt} = f(t)g(y) \Rightarrow \displaystyle\int\frac{dy}{g(y)} = \int f(t)\,dt$

1階線形: $\dfrac{dy}{dt} + P(t)y = Q(t)$ は、両辺に $e^{\int P(t)\,dt}$ をかけて積分する

解き方の手順

1. $y$ の部分を左辺、$t$ の部分を右辺に分ける（$\dfrac{1}{y}\,dy = -k\,dt$）。
2. 両辺を積分し、積分定数 $C$ をつける（$\log|y| = -kt + C$）。
3. 指数の形に直して $y = Ae^{-kt}$ とする（$e^{a + C} = e^Ce^a$）。
4. $t = 0$ を代入して $A$ を決め、$y$ を $t$ の式で答える。