複素数平面の練習問題

考え方

複素数 a + bi を平面上の点として見て、「かけ算は拡大と回転」ととらえられるようになります。累乗もド・モアブルの定理で展開せずに計算でき、交流回路・信号処理・画像の回転などで使われます。

複素数平面

横軸（実軸）に実部 a、縦軸（虚軸）に虚部 b をとり、$z = a + bi$ を点 (a, b) で表した平面です。

絶対値 $|z|$

原点から点 z までの距離です。$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

偏角 $\arg z$

実軸の正の向きから、原点と z を結ぶ線まで反時計回りに測った角です（弧度法で表します）。

極形式

絶対値 r と偏角 θ を使って、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表す書き方です。

複素数 $z = a + bi$ を、横軸（実軸）に a、縦軸（虚軸）に b をとった平面上の点として表します。すると複素数を、原点からの距離と向きで表せるようになります。

原点からの距離 $r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を絶対値、実軸の正の向きから測った角 θ を偏角といいます。三角比から $a = r\cos\theta$、$b = r\sin\theta$ なので、$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と書けます。これが極形式です。

極形式どうしをかけると、加法定理によって「絶対値はかけ算、偏角は足し算」になります。つまり z をかけることは、|z| 倍に拡大して、偏角 θ だけ回転することです（下の図）。

同じ z を n 回かけると、絶対値は $r^{n}$、偏角は $n\theta$ になります。これがド・モアブルの定理です。$(a + bi)^{n}$ を $a^{n} + (bi)^{n}$ とするのは誤りで、極形式に直せば展開せずに計算できます。

ポイント

絶対値: $|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

極形式: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$（$r = |z|$、$\theta = \arg z$）

積: $|z_1z_2| = |z_1||z_2|$、$\arg(z_1z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$（絶対値はかけ算、偏角は足し算）

ド・モアブルの定理: $\{r(\cos\theta + i\sin\theta)\}^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)$

解き方の手順

1. z を点 (a, b) としてとり、絶対値 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を求めます。
2. $\cos\theta = \frac{a}{r}$、$\sin\theta = \frac{b}{r}$ と、点のある位置（右上・左上など）から、偏角 θ を $0 \le \theta < 2\pi$ で決めます。
3. ド・モアブルの定理で、絶対値を $r^{n}$、偏角を $n\theta$ にします。$n\theta$ が $2\pi$ 以上なら、$2\pi$ の整数倍を引きます。
4. $\cos n\theta$、$\sin n\theta$ の値を入れて、$a + bi$ の形に直します。