加法定理と三角関数の合成の練習問題

考え方

加法定理を使って、30°・45°・60° などを組み合わせた 15°・75°・165° などの三角比を正確に求められるようになります。2倍角の公式や三角関数の合成は、波の重ね合わせ（音・電気）や回転の計算に使われます。

加法定理

$\sin(\alpha + \beta)$ などを、α と β の三角比で表す公式です。

2倍角の公式

加法定理で $\beta = \alpha$ としたものです。

三角関数の合成

$a\sin\theta + b\cos\theta$ を1つの sin にまとめることです。

三角関数は、かっこの中の和で分けることができません。たとえば $\sin(30^{\circ} + 60^{\circ}) = \sin 90^{\circ} = 1$ ですが、$\sin 30^{\circ} + \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ は 1 より大きくなります。正しく分けるのが加法定理です。

加法定理は $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$、$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ です。sin は「サイン・コサイン + コサイン・サイン」、cos は「コサイン・コサイン − サイン・サイン」で、cos のほうは符号が逆になります。差 $\alpha - \beta$ のときは、真ん中の符号がどちらも逆になります。

$75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}$、$15^{\circ} = 45^{\circ} - 30^{\circ}$ のように、角を有名角の和や差で表せば、加法定理で正確な値が出せます。√ どうしの積は $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ のようにまとめ、最後に分母をそろえます。

加法定理で $\beta = \alpha$ とすると、2倍角の公式 $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ などが得られます。また、$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta + 45^{\circ})$ のように、sin と cos の和は1つの sin の波にまとめられます（三角関数の合成）。

ポイント

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

2倍角: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$、$\cos 2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

合成: $a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\sin(\theta + \alpha)$（$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$、$\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$）

解き方の手順

1. 求める角を、30°・45°・60°・120° などの和か差で表します（$75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}$ など）。
2. sin か cos か、和か差かに合わせて加法定理を選びます。cos は真ん中の符号が逆になることに注意します。
3. 有名角の sin・cos の値を代入し、$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ で計算します。
4. 分母を 4 にそろえて、$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ のように1つの分数にまとめます。