軌跡と領域の練習問題

考え方

「$y \ge 2x - 1$ かつ $y \le -x + 2$」のような条件を満たす点の範囲（領域）を、座標平面に図で表せるようになります。予算や人員の制約の中で最もよい計画を探す、線形計画法の基本です。

軌跡

条件を満たしながら動く点がえがく図形です。

領域

不等式を満たす点 (x, y) 全体の集まりです。

境界線

不等号を等号にした式が表す線です。$\le$・$\ge$ なら領域に含まれます。

方程式 $y = 2x - 1$ は直線を表しました。不等式 $y > 2x - 1$ は、同じ x で直線上の点より y が大きい点、つまり直線の上側全体を表します。$y < 2x - 1$ なら下側です。

$2x - y \le 1$ のように y の係数が負の不等式は、y について解いてから判断します。$-y \le -2x + 1$ の両辺を $-1$ でわると、向きが逆になって $y \ge 2x - 1$ です。不等号の向きを変え忘れると、反対側を答えてしまいます。

連立不等式の表す領域は、それぞれの不等式の領域が重なった部分（共通部分）です。境界線を含むか（$\le$・$\ge$）、含まないか（$<$・$>$）も確かめます。迷ったら、原点など分かりやすい点を代入して、不等式を満たすか確かめましょう。

円の内部は $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$、外部は $>$ で表します。また、「2点 A, B から等しい距離にある点」の軌跡が線分 AB の垂直二等分線になるように、条件を式にすると点のえがく図形（軌跡）が分かります。

ポイント

$y > f(x)$ は境界線 $y = f(x)$ の上側、$y < f(x)$ は下側

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} < r^{2}$ は円の内部、$> r^{2}$ は外部

連立不等式の領域は、それぞれの領域の共通部分

$\le$・$\ge$ なら境界線を含む、$<$・$>$ なら含まない

解き方の手順

1. それぞれの不等式を「$y \ge$（x の式）」「$y \le$（x の式）」の形に直します。y の係数が負なら、わるときに不等号の向きを逆にします。
2. 境界線（等号にした直線）をかきます。
3. $\ge$ なら上側、$\le$ なら下側に印をつけます。
4. すべての条件が重なる部分が答えです。原点などを代入して確かめます。